Question

如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，點E、F在BD上，求證：BE²+FD²=EF²．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理,正方形的性質

專題：證明題

分析：把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，連接EG，根據旋轉的性質可得BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF，再求出∠GAE=45°，從而得到∠GAE=∠EAF，然后利用“邊角邊”證明△AEG和△AEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=EG，再求出∠GBE=90°，然后利用勾股定理列式證明即可．

解答：證明：如圖，把△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，連接EG，
∴BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠GAE=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，

AG=AF ∠GAE=∠EAF AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=EG，
在在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADF=45°，
∴∠GBE=∠ABG+∠ABE=45°+45°=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+FD²=EF²．

點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，熟記各性質是解題的關鍵，難點在于作輔助線構造成全等三角形和直角三角形．