Question

【題目】在等邊△ABC中，E為BC邊上一點(diǎn)，G為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分線于點(diǎn)M．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的中點(diǎn)位置時(shí)，求證：AE＝EM；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的任意位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析.

【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)N，連接EN，可證明△ANE≌△ECM，可證得AE＝EM；

（2）在AB上取點(diǎn)H，使BH＝BE，根據(jù)等邊三角形的證明△AHE≌△ECM即可求解.

（1）證明：取AB的中點(diǎn)N，連接EN，

∵△ABC為等邊三角形，E，N為中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，

∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，∴∠ANE＝120°，

∵∠AEM＝60°，∴∠MEC＝30°，∴∠NAE＝∠CEM，

∵CM平分∠ACG，∴∠ACM＝60°，∴∠ECM＝∠ANE＝120°，

在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），

∴AE＝EM；

（2）在AB上取點(diǎn)H，使BH＝BE，

∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°．

∵BH＝BE，∴AH＝CE．

∴△BHE是等邊三角形，∴∠BHE＝60°．∴∠AHE＝120°．

∵∠ECM＝120°．∴∠AHE＝∠ECM．

∵∠AEM+∠MEC=∠ABC+∠EAH，∴∠EAH=∠MEC

在△AHE和△ECM中，∴△AHE≌△ECM（ASA）．

∴AE＝EM．