【題目】如圖,有一塊含30°角的直角三角板OAB的直角邊BO的長(zhǎng)恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長(zhǎng)相等,把這兩塊三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中,且OB=3.
(1)若某反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;
(2)若把含30°角的直角三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后,斜邊OA恰好落在x軸上,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,試求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=;(2)S陰影=6π-.
【解析】分析:(1)根據(jù)tan30°=,求出AB,進(jìn)而求出OA,得出A的坐標(biāo),設(shè)過(guò)A的雙曲線的解析式是y=,把A的坐標(biāo)代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積,求出OD、DC長(zhǎng),求出△ODC的面積,相減即可求出答案.
本題解析:
(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,
∴AB=OB·tan 30°=3.
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,3).
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k≠0),
∴3=,∴k=9,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=.
(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin ∠AOB=,即sin 30°=,
∴OA=6.
由題意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′==6π.
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,
∴OD=OC·cos 45°=3×=.
∴S△ODC=OD2==.
∴S陰影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-.
點(diǎn)睛:本題考查了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積及等腰三角形的性質(zhì),本題屬于中檔題,難度不大,將不規(guī)則的圖形的面積表示成多個(gè)規(guī)則圖形的面積之和是解答本題的關(guān)鍵.
【題型】解答題
【結(jié)束】
26
【題目】矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處.
(1)如圖①,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP,OP,OA.
① 求證:△OCP∽△PDA;
② 若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng).
(2)如圖②,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)P,A重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)的過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度;若變化,說(shuō)明理由.
【答案】(1)①證明見解析;②AB=10; (2)在(1)的條件下,點(diǎn)M,N在移動(dòng)的過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度不變,它的長(zhǎng)度恒為2.
【解析】試題分析:(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP=AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,由勾股定理得列方程,求出x,最后根據(jù)CD=AB=2OP即可求出邊CD的長(zhǎng);
(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ=PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的結(jié)論求出PB的長(zhǎng),最后代入EF=PB即可得出線段EF的長(zhǎng)度不變.
試題解析:(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,∴=,∴CP=AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,在Rt△PCO中,∠C=90°,由勾股定理得 : ,解得:x=5,∴CD=AB=AP=2OP=10,∴邊CD的長(zhǎng)為10;
(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP,∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵MP=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.∵MQ∥AN,∴∠QMF=∠BNF,在△MFQ和△NFB中,∵∠QFM=∠NFB,∠QMF=∠BNF,MQ=BN,∴△MFQ≌△NFB(AAS),∴QF=QB,∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB,由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,∴PB==,∴EF=PB=,∴在(1)的條件下,當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度不變,它的長(zhǎng)度為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等邊△ABC中,E為BC邊上一點(diǎn),G為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作∠AEM=60°,交∠ACG的平分線于點(diǎn)M.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的中點(diǎn)位置時(shí),求證:AE=EM;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的任意位置時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,下列4個(gè)三角形中,均有AB=AC,則經(jīng)過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是( 。
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),E在BC的延長(zhǎng)線上,且BD=DE.
(1)如圖,若點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn),求證:AD=CE;
(2)如圖,若點(diǎn)D為線段AC上任意一點(diǎn),求證:AD=CE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程.
解:設(shè)x2-4x=y
原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)
= y2+8y+16 (第二步)
=(y+4)2 (第三步)
=(x2-4x+4)2 (第四步)
回答下列問(wèn)題:
(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______.
A.提取公因式 B.平方差公式 C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填“徹底”或“不徹底”)
若不徹底,請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________.
(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x2-2x)(x2-2x+2)+1進(jìn)行因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=(k>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為C,連接AB、BC.若三角形ABC的面積為3,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,已知 AD 是△ABC 的邊 BC 上的中線.
(1)作出△ABD 的邊 BD 上的高.
(2)若△ABC 的面積為 10,求△ADC 的面積.
(3)若△ABD 的面積為 6,且 BD 邊上的高為 3,求 BC 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】4張相同的卡片上分別寫有數(shù)字2,3,4,5將卡片的背面向上,洗勻后從中任意抽取1 張,將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù);一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號(hào)2,3,4的3個(gè)小球,這些球除標(biāo)號(hào)外都相同,攪勻后從中任意摸出一個(gè)球,將摸到的球的標(biāo)號(hào)作為減數(shù).
(1)用樹狀圖或列表的方法求這兩個(gè)數(shù)的差為0的概率;
(2)如果游戲規(guī)則規(guī)定:當(dāng)抽到的這兩個(gè)數(shù)的差為非負(fù)數(shù)時(shí),則甲獲勝;否則,乙獲勝,你認(rèn)為這樣的規(guī)則公平嗎?如果不公平,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠CAD=∠BAD,DE⊥AB于E,點(diǎn)F在邊AC上,連接DF.
(1)求證:AC=AE;
(2)若CF=BE,直接寫出線段AB,AF,EB的數(shù)量關(guān)系: .
(3)若AC=8,AB=10,且△ABC的面積等于24,求DE的長(zhǎng).
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