Question

如圖1，在△ABC中，AB=BC=a，AC=2b且a＞

2

b．△ECD由△ABC沿BC方向平移得到，連接BE交AC于點O，連接AE．

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，并說明理由；
（2）如本題圖2，P是線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，再作QR⊥BC于R．試探究：點P移動到何處時，△PQR與△AOB相似？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用平移的知識可得四邊形ABCE是平行四邊形，進而根據AB=BC可得該四邊形為菱形；
（2）如圖2，當點P在BC上運動，使△PQR與△AOB相似時，由∠2是△OBP的外角，則∠2＞∠3，故∠2不與∠3對應，所以∠2與∠1對應，即∠2=∠1．如圖2，過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點．在Rt△POG和Rt△ABO中，利用∠2與∠4的余弦三函數的定義得到

PG

OP

=

AO

AB

，可以求出PG，而BP=BC-PC=BC-2PG．

解答：解：（1）四邊形ABCE是菱形．理由如下：
如圖1，∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形，
又∵AB=BC，
∴四邊形ABCE是菱形；

（2）∵四邊形ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，AO=OC=b，BO=OE．
如圖2，當點P在BC上運動，使Rt△PQR與Rt△AOB相似時，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3=∠ABO，
∴∠2不與∠ABO對應，
∴∠2與∠4對應，即必有∠2=∠4．
又AB=BC，
∴∠4=∠1，故有∠2=∠1，
∴OP=OC=b．
過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，PC=2PG．
在Rt△POG和Rt△ABO中，cos∠2=

PG

OP

，cos∠4=

AO

AB

∵∠2=∠4，
∴

PG

OP

=

AO

AB

，
∴PG=

AO•OP

AB

=

b2

a

，
∴BP=BC-PC=BC-2PG=a-2×

b2

a

=

a2-2b2

a

，
∵a＞

2

b，
∴a²-2b²＞0，P在BC上．即BP=

a2-2b2

a

時，△PQR∽△AOB．

點評：此題主要考查了圖形變換，把圖形的變換放在平行四邊形，菱形的背景之中，利用特殊四邊形的性質探究圖形變換的規(guī)律．