Question

【題目】在中，，，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，且，．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)，，分別在，，邊上時(shí)，請(qǐng)你判斷線段，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論；

（2）如圖2，當(dāng)在延長(zhǎng)線上，在延長(zhǎng)線上，在延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)判斷線段，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（3）若，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）結(jié)論不成立；，證明見解析；（3）或．

【解析】

（1）如圖（見解析），先根據(jù)角的和差得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可得；

（2）如圖（見解析），先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得；

（3）分點(diǎn)F在線段AB上和點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上兩種情況，先根據(jù)線段的和差可得，再結(jié)合（1）和（2）的方法和結(jié)論可得，，之間的數(shù)量關(guān)系等式，然后分別聯(lián)立求解即可得．

（1），證明如下：

如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G

，

在和中，

，

是等腰直角三角形，且

即；

（2）（1）中的結(jié)論不成立，，證明如下：

如圖，過點(diǎn)作的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則

∵，

∴，

∴，

∵

∴

∴

在和中，

∴

∴，

∵，

∴

∴

∴

即；

（3），

因此，分以下兩種情況：

①如圖3-1，點(diǎn)F在線段AB上

由（1）可知，，即

聯(lián)立，解得

②如圖3-2，點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上

過點(diǎn)D作于點(diǎn)N

同（1）和（2）可證：

又

聯(lián)立，解得

綜上，或．