Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度先沿CB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再沿BA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，以DP、DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）設(shè)點(diǎn)Q到邊AC的距離為h，直接用含t的代數(shù)式表示h；

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)，求t的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊AB上時(shí)，設(shè)PEQD的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）連接CD，直接寫出CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤時(shí)，h＝2t，當(dāng)＜t≤4時(shí)，h＝；（2）；（3）當(dāng)0≤t＜時(shí)，；當(dāng)＜t≤4時(shí)，；（4）t的值為或．

【解析】

（1）分點(diǎn)Q在線段BC，線段AB上兩種情形分別求解即可．

（2）利用平行線等分線段定理解決問(wèn)題即可．

（3）分點(diǎn)Q在線段BD，在線段AD上兩種情形分別求解即可．

（4）當(dāng)點(diǎn)E落在直線CD上時(shí)，CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等．有兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)E在CD上，且點(diǎn)Q在CB上時(shí) （如圖3所示），②當(dāng)點(diǎn)E在CD上，且點(diǎn)Q在AB上時(shí)（如圖4所示），分別求解即可解決問(wèn)題．

解：（1）當(dāng)0＜t≤時(shí)，h＝2t．

當(dāng)＜t≤4時(shí)，h＝3﹣（2t﹣3）＝．

（2）當(dāng)點(diǎn)E落在AC邊上時(shí)，DQ∥AC，

∵AD＝DB，

∴CQ＝QB，

∴2t＝，

∴t＝．

（3）①如圖1中，當(dāng)0≤t＜時(shí)，作PH⊥AB于H，則PH＝PAsinA＝﹣2t，

∴S＝．

②如圖2中，當(dāng)＜t≤4時(shí)，同法可得．

（4）當(dāng)點(diǎn)E落在直線CD上時(shí)，CD將PEQD分成的兩部分圖形面積相等．有兩種情形：

①當(dāng)點(diǎn)E在CD上，且點(diǎn)Q在CB上時(shí) （如圖3所示），

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CA于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CB于點(diǎn)H，

易證Rt△PGE≌Rt△DHQ，

∴PG＝DH＝2，

∴CG＝2﹣t，GE＝HQ＝CQ﹣CH＝2t﹣，

∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC

∴在Rt△CEG中，tan∠ECG＝，

∴t＝．

②當(dāng)點(diǎn)E在CD上，且點(diǎn)Q在AB上時(shí)（如圖4所示），過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CA于點(diǎn)F，

∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD．

∵PE∥AD，∴∠CPE＝∠CAD＝∠ACD，∴PE＝CE，

∴PF＝PC＝，PE＝DQ＝﹣2t，

∴在Rt△PEF中，cos∠EPF＝，

∴t＝綜上所述，滿足要求的t的值為或．