Question

設(shè)a₁，a₂，…，a₁₉₉₅是1，2，3…，1995的任意一種排列，求證：（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）
必為偶數(shù)．

Answer 1

分析：分析該題如果直接入手，沒法證明，因而采用反證法．假設(shè)結(jié)果為奇數(shù)，通過已知條件，運(yùn)用整數(shù)的奇偶性，推證與假設(shè)矛盾，最終問題得解．

解答：證明：假設(shè)結(jié)果為奇數(shù)
則（1-a₁），（2-a₂），…，（1995-a₁₉₉₅）必須都為奇數(shù)．
則（1-a₁）+（2-a₂）+…+（1995-a₁₉₉₅）必為奇數(shù)．
而1-a₁+2-a₂+…+1995-a₁₉₉₅是偶數(shù)
∴矛盾于假設(shè)，即（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）為偶數(shù)．
∴（1-a₁）（2-a₂）…（1995-a₁₉₉₅）必為偶數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查整數(shù)的奇偶性問題．采用的方法是反證法，反證法是“間接證明法”一類，是從反面的角度的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾．