Question

試確定一切有理數r，使得關于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整數根．

Answer 1

【答案】分析：由于方程的類型未確定，所以應分類討論．當r≠0時，由根與系數關系得到關于r的兩個等式，消去r，利用因式（數）分解先求出方程兩整數根．
解答：解：（1）若r=0，x=，原方程無整數根；
（2）當r≠0時，x₁+x₂=-，x₁x₂=；
消去r得：4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1=7，
即（2x₁-1）（2x₂-1）=7，
∵7=1×7=（-1）×（-7），
∴①，解得，
∴1×4=，解得r=-；
②，解得；
同理得：r=-，
③，解得，r=1，
④，解得，r=1．
∴使得關于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整數根的r值是-或1．
點評：本題主要考查了一元二次方程的整數根與有理根．在解答此題時，利用了一元二次方程的根與系數的關系．