Question

試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整數(shù)根．

Answer 1

【答案】分析：由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論．當(dāng)r≠0時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r，利用因式（數(shù)）分解先求出方程兩整數(shù)根．
解答：解：（1）若r=0，x=，原方程無整數(shù)根；
（2）當(dāng)r≠0時(shí)，x₁+x₂=-，x₁x₂=；
消去r得：4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1=7，
即（2x₁-1）（2x₂-1）=7，
∵7=1×7=（-1）×（-7），
∴①，解得，
∴1×4=，解得r=-；
②，解得；
同理得：r=-，
③，解得，r=1，
④，解得，r=1．
∴使得關(guān)于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整數(shù)根的r值是-或1．
點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．在解答此題時(shí)，利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．