Question

試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整數(shù)根．

Answer 1

分析：由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論．當r≠0時，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個等式，消去r，利用因式（數(shù)）分解先求出方程兩整數(shù)根．

解答：解：（1）若r=0，x=

1

2

，原方程無整數(shù)根；
（2）當r≠0時，x₁+x₂=-

r+2

r

，x₁x₂=

r-1

r

；
消去r得：4x₁x₂-2（x₁+x₂）+1=7，
即（2x₁-1）（2x₂-1）=7，
∵7=1×7=（-1）×（-7），
∴①

2x1-1=1 2x2-1=7

，解得

x1=1 x2=4

，
∴1×4=

r-1

r

，解得r=-

1

3

；
②

2x1-1=7 2x2-1=1

，解得

x1=4 x2=1

；
同理得：r=-

1

3

，
③

2x1-1=-1 2x2-1=-7

，解得

x1=0 x2=-3

，r=1，
④

2x1-1=-7 2x2-1=-1

，解得

x1=-3 x2=0

，r=1．
∴使得關(guān)于x的方程rx²+（r+2）x+r-1=0有根且只有整數(shù)根的r值是-

1

3

或1．

點評：本題主要考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．在解答此題時，利用了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．