Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點D為函數(shù)y=

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x

（x＞0）上 的一點，四邊形ABCD是直角梯形（點B在坐標原點處），AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），點P從A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿直線AD向右運動，點Q從點C同時出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿直線CB向左運動．
（1）求點D的坐標；
（2）從運動開始，經(jīng)過多少時間以點P、Q、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形？
（3）當運動時間t=

2

3

秒時，在y軸上找一點M，使得△PCM是以PC為底的等腰三角形時，請求出點M的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）點D的縱坐標為3，把y=3代入反比例函數(shù)的解析式，求得x的值，則D的坐標可以得到；
（2）P、Q、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，則PD=CQ，據(jù)此即可列出方程，求得t的值；
（3）當運動時間t=

2

3

秒時，首先求得P、Q的坐標，根據(jù)△PMC是以PC為底的等腰三角形，即可列出方程，求得M的坐標．

解答：解：（1）∵點D的縱坐標為3，∴3=

18

x

，
∴x=6，
∴D（6，3）
（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故當PD=CQ時，可得平行四邊形，
∴|6-3t|=t，
則6-3t=t，或6-3t=-t．
∴t=1.5秒或3秒．
（3）當t=

2

3

s時，AP=

2

3

×3=2，P為（2，3）．
設M（0，y），則MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC是以PC為底的等腰三角形
則MC=PM，則4²+y²=2²+（3-y）²，y=-

1

2

；
∴當M的坐標為（0，-

1

2

）

點評：本題是反比例函數(shù)、等腰三角形的性質、以及平行四邊形的判定的綜合應用，正確理解方程思想是解題的關鍵．