Question

【題目】如圖，△ABC中，點E在BC邊上，AE=AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G.

(1)求證：EF=BC；

(2)若∠ABC=62°,∠ACB=29°，求∠FGC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）85°．

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AF，利用SAS證明△ABC≌△AEF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出EF=BC；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BAE=180°-62°×2=56°，那么∠FAG=56°．由△ABC≌△AEF，得出∠F=∠ACB=29°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠FGC=∠FAG+∠F=85°．

（1）證明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF．
∵將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，
∴AC=AF．
在△ABC與△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC；
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=62°，
∴∠BAE=180°-62°×2=56°，
∴∠CAF=∠BAE =56°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠ACB=29°，
∴∠FGC=∠CAF+∠F=56°+29°=85°．