Question

如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為

A．110°     B．120°     C．130°     D．140°

Answer 1

D

根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°，進(jìn)而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如圖，作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值。作DA延長(zhǎng)線AH。

∵∠BAD＝110°，∴∠HAA′＝70°。
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝70°。
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×70°＝140°。
故選D。