Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OC＜OB）是方程x²-10x+24=0的兩個(gè)根．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使CP+AP的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)線段OB、OC的長（OC＜OB）是方程x²-10x+24=0的兩個(gè)根，求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)是，再分別代入y=ax²+bx+c，求出方程組的解即可，
（2）由A（-2，0），B（6，0）求出對稱軸，連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，則此時(shí)AP+AP的值最小，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)B（6，0），C（0，4），求出直線BC的解析式，再由當(dāng)x=2時(shí)，y=

8

3

即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵線段OB、OC的長（OC＜OB）是方程x²-10x+24=0的兩個(gè)根，
∴OC=4，OB=6，
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），
∴

0=4a-2b+c 0=36a+6b+c 4=c

，
解得：a=-

1

3

，b=

4

3

，c=4，
∴二次函數(shù)的解析式是：y=-

1

3

x²+

4

3

x+4；
（2）由A（-2，0），B（6，0）可知對稱軸為x=2，
連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，
則此時(shí)AP+AP的值最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∵B（6，0），C（0，4），
∴

4=b 0=6k+b

，解得k=-

2

3

，b=4，
∴直線BC的解析式為：y=-

2

3

x+4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

8

3

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

8

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、最短路徑問題、一次函數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，做出輔助線，畫出P點(diǎn)的位置．