【題目】1)方法選擇:如圖①,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BDABBCAC.求證:BDAD+CD

小穎認為可用截長法證明:在DB上截取DMAD,連接AM…

小軍認為可用補短法證明:延長CD至點N,使得DNAD…

請你選擇一種方法證明.

2)類比探究:(探究1)如圖②,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BDBC是⊙O的直徑,ABAC.試用等式表示線段AD,BDCD之間的數(shù)量關系,井證明你的結(jié)論.

(探究2)如圖③,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD.若BC是⊙O的直徑,∠ABC30°,則線段ADBD,CD之間的等量關系式是   

3)拓展猜想:如圖④,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,連接AC,BD.若BC是⊙O的直徑,BCACABabc,則線段ADBD,CD之間的等量關系式是   

【答案】1)選截長法,見解析;(2)探究1 BDCD+AD,見解析;探究2 BDCD+2AD;(3BDCD+AD

【解析】

1)方法選擇:根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACB=ABC=60°,如圖①,在BD上截取DM=AD,連接AM,由圓周角定理得到∠ADB=ACB=60°,得到AM=AD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=CD,于是得到結(jié)論;

2)類比探究:探究1:如圖②,由BC是⊙O的直徑,得到∠BAC=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=ACB=45°,過AAMADBDM,推出ADM是等腰直角三角形,求得DM=AD根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;

探究2:如圖③,根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和得到∠BAC=90°,∠ACB=60°,過AAMADBDM,求得∠AMD=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到MD=2AD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD,于是得到結(jié)論;

3)如圖④,由BC是⊙O的直徑,得到∠BAC=90°,過AAMADBDM,求得∠MAD=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BM=CD,DM=AD,于是得到結(jié)論.

1)方法選擇:∵ABBCAC,

∴∠ACB=∠ABC60°

如圖①,在BD上截取DM=AD,連接AM,

∵∠ADB=∠ACB60°

∴△ADM是等邊三角形,

AMAD

∵∠ABM=∠ACD,

∵∠AMB=∠ADC120°

∴△ABM≌△ACDAAS),

BMCD

BDBM+DMCD+AD;

2)類比探究:探究1:如圖②,

BC是⊙O的直徑,

∴∠BAC90°,

ABAC,

∴∠ABC=∠ACB45°,

AAMADBDM

∵∠ADB=∠ACB45°,

∴△ADM是等腰直角三角形,

AMAD,∠AMD45°,

DMAD

∴∠AMB=∠ADC135°,

∵∠ABM=∠ACD

∴△ABM≌△ACDAAS),

BMCD

BDBM+DMCD+AD;

探究2:如圖③,

∵若BC是⊙O的直徑,∠ABC30°

∴∠BAC90°,∠ACB60°,

AAMADBDM,

∵∠ADB=∠ACB60°

∴∠AMD30°,

MD2AD

∵∠ABD=∠ACD,∠AMB=∠ADC150°,

∴△ABM∽△ACD,

,

BMCD

BDBM+DMCD+2AD;

故答案為:BDCD+2AD

3)拓展猜想:BDBM+DMCD+AD;

理由:如圖④,

∵若BC是⊙O的直徑,

∴∠BAC90°,

AAMADBDM,

∴∠MAD90°,

∴∠BAM=∠DAC

∴△ABM∽△ACD,

BMCD,

∵∠ADB=∠ACB,∠BAC=∠NAD90°,

∴△ADM∽△ACB

,

DMAD,

BDBM+DMCD+AD

故答案為:BDBM+DMCD+AD

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;②;③;④

2)若,,把繞點旋轉(zhuǎn).

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