Question

【題目】拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段下方拋物線上一動點(diǎn)，連接．

（1）求拋物線解析式；

（2）在點(diǎn)移動過程中，的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積及點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)為上不與端點(diǎn)重合的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂線，交拋物線于點(diǎn)，若與相似，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3），，

【解析】

（1）由題意設(shè)，結(jié)合拋物線，從而可得答案；

（2）過作軸，交于 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示的坐標(biāo)，求解長度，利用可得答案；

（3）分情況討論：當(dāng)時(shí)，過作交于，求解的坐標(biāo)，利用函數(shù)的交點(diǎn)求解的坐標(biāo)，當(dāng)過點(diǎn)作，則有，利用二次函數(shù)的對稱性可得答案，當(dāng)作的垂直平分線，交拋物線于點(diǎn)，則有，利用函數(shù)的交點(diǎn)求得的坐標(biāo)．

解：（1） 點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)拋物線的解析式為

，

拋物線解析式為：

（2）存在，理由如下：過作軸，交于

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

拋物線解析式為：

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為：

解得：

直線的解析式為

故點(diǎn)的坐標(biāo)為

故當(dāng)時(shí)，有最大值為

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為；；；

理由如下：如圖4，，可得；

同上可知線段的解析式為，

過作交于，

直線，

直線的解析式為，

聯(lián)立方程組，

解得

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為：，

解得：

直線的解析式為

將與聯(lián)立方程可得：

，解得（舍），，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為；

如圖5，過點(diǎn)作，

，

此時(shí)點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

如圖6，作的垂直平分線，交拋物線于點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線，并經(jīng)過點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為:

直線的解析式為，

將與

聯(lián)立方程組可得

，

解得，（舍）

故點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：；；