Question

已知，如圖22­11拋物線y＝ax²＋3ax＋c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，OC＝3OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；

(3)若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(1)∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)．

把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y＝ax²＋3ax＋c，得

∴y＝x²＋x－3.

(2)如圖D86.過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N.

S_{四邊形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD

＝＋×DM×(AN＋ON)

＝＋2DM，

∵A(－4,0)，C(0，－3)，

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，

代入，求得y＝－x－3.

＝－(x＋2)²＋3，

當(dāng)x＝－2時(shí)，DM有最大值3.

此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值為.

          

圖D86                       　圖D87

(3)如圖D87，討論：①過點(diǎn)C作CP₁∥x軸交拋物線于點(diǎn)P₁，過點(diǎn)P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點(diǎn)E₁，

此時(shí)四邊形ACP₁E₁為平行四邊形．

∵C(0，－3)，令x²＋x－3＝－3，

∴x＝0或x＝－3.∴P₁(－3，－3)．

②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC＝PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，∵C(0，－3)，

∴可令P(x,3)，由x²＋x－3＝3，得x²＋3x－8＝0.

解得

此時(shí)存在點(diǎn)

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P₁(－3，－3)，