【題目】在平面直角坐標(biāo)中,邊長為 2 的正方形 OABC 的兩頂點 A、C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上,點 O 在原點.現(xiàn)將正方形 OABC 繞 O 點順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng) A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB 邊交直線 y=x于點 M,BC 邊交 x 軸于點 N(如圖).
(1)求邊 OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積;
(2)旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng) MN 和 AC 平行時,求正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(3)試證明在旋轉(zhuǎn)過程中, △MNO 的邊 MN 上的高為定值;
(4)設(shè)△MBN 的周長為 p,在旋轉(zhuǎn)過程中,p 值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,說明理由;若不發(fā)生變化,請給予證明,并求出 p 的值.
【答案】(1)OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為 0.5π ;(2)旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng) MN 和 AC 平行時,正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 45°-22.5°=22.5 度;(3)MN 邊上的高為 2(4)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中,p 值無變化.見解析.
【解析】
(1)過點M作MH⊥y軸,垂足為H,如圖1,易證∠MOH=45°,然后運用扇形的面積公式就可求出邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.
(2)根據(jù)正方形和平行線的性質(zhì)可以得到AM=CN,從而可以證到△OAM≌△OCN.進(jìn)而可以得到∠AOM=∠CON,就可算出旋轉(zhuǎn)角∠HOA的度數(shù).
(3)過點O作OF⊥MN,垂足為F,延長BA交y軸于E點,如圖2,易證△OAE≌△OCN,從而得到OE=ON,AE=CN,進(jìn)而可以證到△OME≌△OMN,從而得到∠OME=∠OMN,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)就可得到結(jié)論.
(4)由△OME≌△OMN(已證)可得ME=MN,從而可以證到MN=AM+CN,進(jìn)而可以推出p=AB+BC=4,是定值.
解:(1)過點M作MH⊥y軸,垂足為H,如圖1,
∵點M在直線y=x上,
∴OH=MH.
在Rt△OHM中,
∵tan∠MOH= =1,
∴∠MOH=45°.
∵A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn),
∴OA旋轉(zhuǎn)了45°.
∵正方形OABC的邊長為2,
∴OA=2.
∴OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為 =0.5π.∵A 點第一次落在直線 y=x 上時停止旋轉(zhuǎn), ∴OA 旋轉(zhuǎn)了 45 度.
∴OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為 0.5π .
(2)∵MN∥AC, ∴∠BMN=∠BAC=45°,∠BNM=∠BCA=45 度.
∴∠BMN=∠BNM.BM=BN.
又∵BA=BC,AM=CN.
又∵OA=OC,∠OAM=∠OCN,
∴△OAM ≌△OCN. ∴∠AOM=∠CON.
∴∠AOM= 1/2(90°-45°)=22.5 度.
∴旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng) MN 和 AC 平行時,正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 45°-22.5°=22.5 度.
(3)證明:過點O作OF⊥MN,垂足為F,延長BA交y軸于E點,如圖2,
則∠AOE=45°-∠AOM,∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM.
∴∠AOE=∠CON.
在△OAE和△OCN中,
.
∴△OAE≌△OCN(ASA).
∴OE=ON,AE=CN.
在△OME和△OMN中
∴△OME≌△OMN(SAS).
∴∠OME=∠OMN.
∵MA⊥OA,MF⊥OF,
∴OF=OA=2.
∴在旋轉(zhuǎn)過程中,△MNO的邊MN上的高為定值.MN 邊上的高為 2;
(4)在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值不變化.
證明:延長 BA 交 y 軸于
∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM,
∴∠AOE=∠CON.
又∵OA=OC,∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN.
∴△OAE ≌△OCN.
∴OE=ON,AE=CN.
又 ∵∠MOE=∠MON=45°,OM=OM,
∴△OME ≌△OMN.
∴MN=ME=AM+AE. ∴MN=AM+CN,
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.
∴在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中,p 值無變化.
故答案為:(1)OA 在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為 0.5π ;(2)旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng) MN 和 AC 平行時,正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為 45°-22.5°=22.5 度;(3)MN 邊上的高為 2(4)在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC 的過程中,p 值無變化.見解析.
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【題目】如圖 ,直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ⊥ BC,AD 2 ,將腰CD 以點 D 為中心逆時針旋轉(zhuǎn) 90°至 DE ,連接 AE、CE ,△ADE 的面積為 3,則 BC 的長為_______.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,射線ED⊥BC于點E,AD=AB=BE=BC=4,動點P從點E出發(fā),沿射線ED以每秒2個單位長度的速度運動,以PE為對角線做正方形PMEN,設(shè)運動時間為t秒,正方形PMEN與四邊形ABCD重疊部分面積為S.
(1)當(dāng)點N落在邊DC上時,求t的值.
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)正方形PMEN被直線BD分成2:1兩部分時,直接寫出t的值.
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【題目】一般情況下+=不成立,但有些數(shù)可以使得它成立,例如:a=b=0.我們稱使得+=成立的一對數(shù)a,b為“相伴數(shù)對”,記為(a,b).
(1)若(1,b)是“相伴數(shù)對”,求b的值;
(2)寫出一個“相伴數(shù)對”(a,b),其中a,b為整數(shù)且a≠0;
(3)若(m,n)是“相伴數(shù)對”,求代數(shù)式m﹣n﹣[4m﹣2(3n﹣1)]的值.
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【題目】為民中學(xué)租用兩輛速度相同的小汽車送1名帶隊老師和6名學(xué)生到城區(qū)中學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽,每輛限坐4人(不包括司機(jī)).其中一輛小汽車在距離考場16.5 km的地方出現(xiàn)故障,此時離截止進(jìn)考場的時刻還有50分鐘,這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車,且這輛車的平均速度是55 km/h,人步行的速度是5 km/h(上、下車時間忽略不計).
(1)若小汽車送4人到達(dá)考場,然后再回到出故障處接其他人,請你通過計算說明他們能否在截止進(jìn)考場的時刻前到達(dá)考場;
(2)假如你是帶隊的老師,請設(shè)計一種你認(rèn)為較優(yōu)的運送方案,使他們能在截止進(jìn)考場的時刻前到達(dá)考場,并通過計算說明方案的可行性.
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【題目】如圖,已知的頂點A、C分別在直線和上,O是坐標(biāo)原點,則對角線OB長的最小值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
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【題目】小王和小李都想去體育館,觀看在我縣舉行的“市長杯”青少年校園 足球聯(lián)賽,但兩人只有一張門票,兩人想通過摸球的方式來決定誰去觀看,規(guī)則如下: 在兩個盒子內(nèi)分別裝入標(biāo)有數(shù)字 1,2,3,4 的四個和標(biāo)有數(shù)字 1,2,3 的三個完全相 同的小球,分別從兩個盒子中各摸出一個球,如果所摸出的球上的數(shù)字之和小于 6,那 么小王去,否則就是小李去.
(1)用樹狀圖或列表法求出小王去的概率;
(2)小李說:“這種規(guī)則不公平.”你認(rèn)同他的說法嗎?請說明理由.
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【題目】如圖1,對稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c,與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),且點A坐標(biāo)為(-1,0).又P是拋物線上位于第一象限的點,直線AP與y軸交于點D,與拋物線對稱軸交于點E,點C與坐標(biāo)原點O關(guān)于該對稱軸成軸對稱.
(1)求點 B 的坐標(biāo)和拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng) AE:EP=1:4 時,求點 E 的坐標(biāo);
(3)如圖 2,在(2)的條件下,將線段 OC 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)得到 OC ′,旋轉(zhuǎn)角為 α(0°<α<90°),連接 C ′D、C′B,求 C ′B+ C′D 的最小值.
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【題目】首條貫通絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶的高鐵線﹣寶蘭客專進(jìn)入全線拉通試驗階段,寶蘭客專的通車對加快西北地區(qū)與“一帶一路”沿線國家和地區(qū)的經(jīng)貿(mào)合作、人文交流具有十分重要的意義.試運行期間,一列動車從西安開往西寧,一列普通列車從西寧開往西安,兩車同時出發(fā),設(shè)普通列車行駛的時間為x(小時),兩車之間的距離為y(千米),圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象進(jìn)行一下探究:
【信息讀取】
(1)西寧到西安兩地相距 千米,兩車出發(fā)后 小時相遇;
(2)普通列車到達(dá)終點共需 小時,普通列車的速度是 千米/小時.
【解決問題】
(3)求動車的速度;
(4)普通列車行駛t小時后,動車到達(dá)終點西寧,求此時普通列車還需行駛多少千米到達(dá)西安?
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