【題目】如圖1,對(duì)稱軸為直線x=1的拋物線y=x2+bx+c,與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),且點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0).又P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn),直線AP與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于該對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.
(1)求點(diǎn) B 的坐標(biāo)和拋物線的表達(dá)式;
(2)當(dāng) AE:EP=1:4 時(shí),求點(diǎn) E 的坐標(biāo);
(3)如圖 2,在(2)的條件下,將線段 OC 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 OC ′,旋轉(zhuǎn)角為 α(0°<α<90°),連接 C ′D、C′B,求 C ′B+ C′D 的最小值.
【答案】(1)B(3,0);拋物線的表達(dá)式為:y=x2-x-;(2)E(1,6);(3)C′B+C′D的最小值為.
【解析】試題分析:(1)由拋物線的對(duì)稱軸和過(guò)點(diǎn)A ,即可得到拋物線的解析式,令y=0,解方程可得B的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸,垂足為F.由平行線分線段弄成比例定理可得===,從而求出E的坐標(biāo);
(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3,得到D(0,3).
如圖,取點(diǎn)M(0, ),連接MC′、BM.則可求出OM,BM的長(zhǎng),得到△MOC′∽△C′OD.進(jìn)而得到MC′=C′D,由C′B+C′D=C′B+MC′≥BF可得到結(jié)論.
試題解析:解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=1,∴-=1,∴b=-1.
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A(-1,0),∴-b+c=0,解得:c=-,
即:拋物線的表達(dá)式為:y=x2-x-.
令y=0,則x2/span>-x-=0,解得:x1=-1,x2=3,即B(3,0);
(2)過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸,垂足為F.
∵EG∥PF,AE:EP=1:4,∴===.
又∵AG=2,∴AF=10,∴F(9,0).
當(dāng)x=9時(shí),y=30,即P(9,30),PF=30,∴EG=6,∴E(1,6).
(3)由E(1,6)、A(-1,0)可得AP的函數(shù)表達(dá)式為y=3x+3,則D(0,3).
∵原點(diǎn)O與點(diǎn)C關(guān)于該對(duì)稱軸成軸對(duì)稱,∴EG=6,∴C(2,0),∴OC′=OC=2.
如圖,取點(diǎn)M(0, ),連接MC′、BM.則OM=,BM==.
∵, ,且∠DOC′=∠C′OD,∴△MOC′∽△C′OD.∴,∴MC′=C′D,∴C′B+C′D=C′B+MC′≥BM=,∴C′B+C′D的最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=BC,D是AC中點(diǎn),BE平分∠ABD交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)O是AB上一點(diǎn),⊙O過(guò)B、E兩點(diǎn),交BD于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F.
(1)判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)BD=6,AB=10時(shí),求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)中,邊長(zhǎng)為 2 的正方形 OABC 的兩頂點(diǎn) A、C 分別在 y 軸、x 軸的正半軸上,點(diǎn) O 在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形 OABC 繞 O 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng) A 點(diǎn)第一次落在直線 y=x 上時(shí)停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AB 邊交直線 y=x于點(diǎn) M,BC 邊交 x 軸于點(diǎn) N(如圖).
(1)求邊 OA 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積;
(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng) MN 和 AC 平行時(shí),求正方形 OABC 旋轉(zhuǎn)的度數(shù);
(3)試證明在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中, △MNO 的邊 MN 上的高為定值;
(4)設(shè)△MBN 的周長(zhǎng)為 p,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,p 值是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)給予證明,并求出 p 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把邊長(zhǎng)為1厘米的6個(gè)相同正方體擺成如圖的形式.
(1)畫(huà)出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖;
(2)直接寫(xiě)出該幾何體的表面積為 cm2(包括底面);
(3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體,并保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變,那么最多可以再添加 小正方體.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】3 月初某商品價(jià)格上漲,每件價(jià)格上漲 20%.用 3000 元買(mǎi)到的該商品 件數(shù)比漲價(jià)前少 20 件.3 月下旬該商品開(kāi)始降價(jià),經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后,該商品價(jià)格為每 件 19.2 元.
(1)求 3 月初該商品上漲后的價(jià)格;
(2)若該商品兩次降價(jià)率相同,求該商品價(jià)格的平均降價(jià)率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察圖形,解答問(wèn)題:
(1)按下表已填寫(xiě)的形式填寫(xiě)表中的空格:
圖① | 圖② | 圖③ | |
三個(gè)角上三個(gè)數(shù)的積 | 1×(-1)×2=-2 | (-3)×(-4)×(-5)=-60 | |
三個(gè)角上三個(gè)數(shù)的和 | 1+(-1)+2=2 | (-3)+(-4)+(-5)=-12 | |
積與和的商 | (-2)÷2=-1 |
(2)請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)x和圖⑤中的數(shù)y.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 A、B兩地相距45千米,甲汽車以每小時(shí)50千米的速度從A地出發(fā),乙汽車以每小時(shí)40千米的速度從B地出發(fā)
(1)若兩車同時(shí)出發(fā),相向而行,問(wèn)經(jīng)過(guò)幾小時(shí),兩車相距30千米?
(2)若兩車同時(shí)出發(fā),同向而行,問(wèn)經(jīng)過(guò)幾小時(shí),兩車相距30千米?
(3)若乙車先出發(fā)半小時(shí),同向而行,則經(jīng)過(guò)幾小時(shí),兩車相距30千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近幾年,隨著電子商務(wù)的快速發(fā)展,“電商包裹件”占“快遞件”總量的比例逐年增長(zhǎng),根據(jù)企業(yè)財(cái)報(bào),某網(wǎng)站得到如下統(tǒng)計(jì)表:
(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖,描述2014﹣2017年“電商包裹件”占當(dāng)年“快遞件”總量的百分比(精確到1%);
(2)若2018年“快遞件”總量將達(dá)到675億件,請(qǐng)估計(jì)其中“電商包裹件”約為多少億件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩家商場(chǎng)以同樣的價(jià)格出售同樣的電器,但各自推出的優(yōu)惠方案不同.甲商場(chǎng)規(guī)定:凡超過(guò) 元的電器,超出的金額按 收;乙商場(chǎng)規(guī)定:凡超過(guò) 元的電器,超出的金額按 收。愁櫩唾(gòu)買(mǎi)的電器價(jià)格是 元.
(1)當(dāng) 時(shí),該顧客應(yīng)選擇在 商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)比較合算;
(2)當(dāng) 時(shí),分別用代數(shù)式表示在兩家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)電器所需付的費(fèi)用;
(3)當(dāng) 時(shí),該顧客應(yīng)選擇哪一家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)比較合算?說(shuō)明理由.
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