Question

【題目】在邊長為1的正方形ABCD中，點E是射線BC上一動點，AE與BD相交于點M，AE或其延長線與DC或其延長線相交于點F，G是EF的中點,連結CG．

（1）如圖1，當點E在BC邊上時．求證：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM.

（2）如圖2，當點E在BC的延長線上時,（1）中的結論②是否成立？請寫出結論，不用證明．

（3）試問當點E運動到什么位置時，△MCE是等腰三角形?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）成立；（3）當BE=戓BE=時，△MCE是等腰三角形.

【解析】試題（1）①根據正方形的性質，利用邊角邊定理即可證明△ABM≌△CBM；②根據全等三角形的性質可得∠BAM=∠BCM，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得GC=GF，根據等腰三角形和平行線的性質得到角的等量關系得∠BCM=∠GCF，即可證得結論；（2）類比（1）的方法即可得結論；（3）分當點E在BC邊上時和當點E在BC的延長線上時兩種情況討論求解即可.

試題解析：

(1)①證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠ABM=∠CBM 又∵BM=BM,∴ΔABM≌ΔCBM.

②∵ΔABM≌ΔCBM，∴∠BAM=∠BCM 又∵∠ECF=90,G是EF的中點

∴GC=GF,∴∠GCF=∠F

又∵AB∥DF,∴∠BAM=∠F，∴∠BCM=∠GCF

∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90

∴GC⊥CM

(2)成立

(3)①當點E在BC邊上時

∵∠MEC＞90,要使△MCE是等腰三角形,必須EM=EC,∴∠EMC=∠ECM

∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90,∴∠BAE=300

∴BE=.

②當點E在BC的延長線上時,仿①易知BE=.

綜上①②,當BE=戓BE=時，△MCE是等腰三角形.