Question

在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F．過C點(diǎn)作CG∥AD，交BA的延長線于G，過A作BC的平行線交CG于H點(diǎn)．
（1）若∠BAC=90°，求證：四邊形ADCH是菱形；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先判定四邊形ADCH是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一邊判定AD=CD，則易推知結(jié)論；
（2）首先過A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．

解答：（1）證明：如圖，∵CG∥AD，AH∥CD，
∴四邊形ADCH是平行四邊形．
∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD=CD，
∴四邊形ADCH是菱形；

（2）過A作AM⊥CD，垂足為M．
∵AD=AC，
∴DG=CM，
∴BD：BM=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BMA，
∴ED：AM=BD：BM=2：3，
∵DE=3，
∴AM=

9

2

，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴

S△FCD

S△ABC

=（

CD

BC

）²=

1

4

．
∵S_△ABC=

1

2

×BC×AM=

1

2

×8×

9

2

=18，
∴S_△FCD=

1

4

S_△ABC=

9

2

．

點(diǎn)評：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．