Question

【題目】一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK，△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=a．

（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為 ， 周長為；
（2）將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為 ， 周長為；
（3）如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1，圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證．

Answer 1

【答案】
（1）；（1+ ）a
（2）a2；2a
（3）

解：猜想：重疊部分的面積為 ．

理由如下：

過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G

設MN與AC的交點為E，MK與BC的交點為F

∵M是△ABC斜邊AB的中點，AC=BC=a

∴MH=MG=

又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，

∴∠HME=∠GMF，

∴Rt△MHE≌Rt△MGF

∴陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積

∵正方形CGMH的面積是MGMH= × =

∴陰影部分的面積是 ．

【解析】解：（1）∵AM=MC= AC= a，則
∴重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為 a2 ， 周長為（1+ ）a．（2）∵重疊部分是正方形
∴邊長為 a，面積為 a2 ， 周長為2a．
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)：底邊上的中線與底邊上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC= AC= a，則重疊部分的面積是△ACB的面積的一半，為 a2 ， 周長為（1+ ）a．（2）易得重疊部分是正方形，邊長為 a，面積為 a2 ， 周長為2a．（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積．