Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且其對(duì)稱(chēng)軸l為x=﹣1，點(diǎn)P是拋物線上B，C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合）．

（1）直接寫(xiě)出拋物線的解析式；
（2）小唐探究點(diǎn)P的位置時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N在對(duì)稱(chēng)軸l上時(shí)，存在PB⊥NB，且PB=NB的關(guān)系，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）是否存在點(diǎn)P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出四邊形PBAC面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，0），對(duì)稱(chēng)軸l為x=﹣1，

∴B（﹣3，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3；

（2）

解：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，

設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)Q．

∵PB⊥NB，∴∠PBN=90°，

∴∠PBM+∠NBQ=90°．

∵∠PMB=90°，

∴∠PBM+∠BPM=90°．

∴∠BPM=∠NBQ．

又∵∠BMP=∠BNQ=90°，PB=NB，

∴△BPM≌△NBQ．

∴PM=BQ．

∵拋物線y=x2+2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，且對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣1，0）．∴BQ=2．∴PM=BQ=2．

∵點(diǎn)P是拋物線y=x2+2x﹣3上B、C之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴結(jié)合圖象可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣2，

將y=﹣2代入y=x2+2x﹣3，得﹣2=x2+2x﹣3，

解得x1=﹣1﹣ ，x2=﹣1+ （舍去），

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1﹣ ，﹣2）

（3）

解：存在．

如圖2，連接AC．

可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）（﹣3＜x＜0），則y=x2+2x﹣3，

∵點(diǎn)A（1，0），∴OA=1．

∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，

∴令x=0，得y=﹣3．即點(diǎn)C（0，﹣3）．

∴OC=3．

由（2）可知S四邊形PBAC=S△BPM+S四邊形PMOC+S△AOC

= BMPM+ （PM+OC）OM+ OAOC

= （x+3）（﹣y）+ （﹣y+3）（﹣x）+ ×1×3

=﹣ y﹣ x+ ．

將y=x2+2x﹣3代入可得S四邊形PBAC=﹣ （x2+2x﹣3）﹣ x+ =﹣ （x+ ）2+ ．

∵﹣ ＜0，﹣3＜x＜0，

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，S四邊形PBAC有最大值 ．此時(shí)，y=x2+2x﹣3=﹣ ．

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）時(shí)，四邊形PBAC的面積最大，最大值為 ．

【解析】（1）由對(duì)稱(chēng)軸可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)拋物線對(duì)稱(chēng)軸l交x軸于點(diǎn)Q．可證明△BPM≌△NBQ，則可求得PM=BQ，可求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，利用拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）連接AC，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出四邊形PBAC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．