Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=kx+m交y軸于點(diǎn)C，與拋物線y=ax2+bx交于點(diǎn)A（4，0）、B（-，-）．

（1）直線l的表達(dá)式為：______，拋物線的表達(dá)式為：______；

（2）若點(diǎn)P是二次函數(shù)y=ax2+bx在第四象限內(nèi)的圖象上的一點(diǎn)，且2S△APB=S△AOB，求△AOP的面積；

（3）若點(diǎn)Q是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q到直線l的距離為d，到拋物線的對稱軸的距離為d1，當(dāng)|d-d1|=2時(shí)，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x-3，y=-x2+2x；（2）S△AOP=；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．

【解析】

（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)、拋物線表達(dá)式即可求解；

（2）將直線l沿y軸向下平移個(gè)單位長度得直線y=x，交二次函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象于點(diǎn)P，即可求解；

（3）確定d=QRcosα=|x2+2xx+3|×，d1=|x-2|，利用|d-d1|=2，即可求解．

解：（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+m得：

，

解得：，

∴直線的表達(dá)式為：y=x-3，

同理將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，得

，

解得：a=，b=2，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2+2x；

（2）將直線l向下平移m個(gè)單位，交拋物線于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)D，

過點(diǎn)P、D分別作直線l的垂線HD、PM于點(diǎn)H、M，過點(diǎn)O作直線PD的垂線交直線l于點(diǎn)F、交直線PD于點(diǎn)E，

則PM=HD，2S△APB=S△AOB，則PM=HD=2OF，

直線的表達(dá)式為：y=x-3，則tan∠HCD=tan∠OCF，

即：，

解得：OC=OC=，

∵FC∥ED

∴，

∴，

即：x-=-x2+2x，

解得：x=或-2（舍去負(fù)值），

點(diǎn)P（，-），

S△AOP==；

（3）過點(diǎn)Q分別作直線l和函數(shù)對稱軸的垂線交于點(diǎn)H、G，過點(diǎn)Q作QR∥y軸交直線l和x軸于點(diǎn)R、S，

則∠RQH=∠RAS=α，直線AB表達(dá)式得k值為，即tanα=，則cosα=，

設(shè)點(diǎn)Q（x，-x2+2x）、則點(diǎn)R（x，x-3），

d=QRcosα=|-x2+2x-x+3|×…①，

d1=|x-2|…②，

|d-d1|=2…③，

聯(lián)立①②③并解得：x=或-或6或-1或1或4或-4，

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，2-3）或（-，-3-2）或（6，-6）或（-1，-）或（1，）或（-4，-16）或（4，0）．