【題目】正方形ABCD的邊長為2,將射線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α,所得射線與線段BD交于點M,作CE⊥AM于點E,點N與點M關(guān)于直線CE對稱,連接CN.
(1)如圖,當(dāng)0°<α<45°時:
①依題意補(bǔ)全圖;
②用等式表示∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系:___________;
(2)當(dāng)45°<α<90°時,探究∠NCE與∠BAM之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(3)當(dāng)0°<α<90°時,若邊AD的中點為F,直接寫出線段EF長的最大值.
【答案】(1)①補(bǔ)圖見解析;②∠NCE=2∠BAM;(2)∠NCE+∠BAM=90°,證明見解析;(3)1+.
【解析】
(1)作CE⊥AM于點E,點N與點M關(guān)于直線CE對稱,連接CN.由△ABM≌△CBM,可得∠BAM=∠BCM,由∠ABC=∠CEA=90°,BC,AE交于一點,可得∠BAM=∠BCE,即可得到∠MCE=2∠BAM,由點N與點M關(guān)于直線CE對稱,可得CN=CM,即可得到∠NCE=∠MCE,進(jìn)而得出∠NCE=2∠BAM;
(2)連接CM,判定△ADM≌△CDM,即可得到∠DAM=∠DCM,再根據(jù)∠DAQ=∠ECQ,即可得到∠NCE=∠MCE=2∠DAQ,即,再根據(jù)∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,即可得到;
(3)依據(jù)∠CEA=90°,即可得到點E在以AC為直徑的圓上,當(dāng)EF經(jīng)過圓心O時,即可得出線段EF長的最大值.
(1)①補(bǔ)全的圖形如圖所示:
②∠NCE=2∠BAM.理由如下:
如圖1,連接MC.
∵ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABM=∠CBM.
∵BM=BM,∴△ABM≌△CBM,∴∠BAM=∠BCM.
∵∠ABC=∠CEA=90°,BC,AE交于一點,∴∠BAM=∠BCE,∴∠MCE=2∠BAM.
∵點N與點M關(guān)于直線CE對稱,∴CN=CM,∴∠NCE=∠MCE,∴∠NCE=2∠BAM.
故答案為:∠NCE=2∠BAM.
(2).理由如下:
如圖,連接CM.
∵AD=CD,∠ADM=∠CDM,DM=DM,∴△ADM≌△CDM,∴∠DAM=∠DCM.
∵∠ADQ=∠CEQ=90°,∠AQD=∠CQE,∴∠DAQ=∠ECQ,∴∠NCE=∠MCE=2∠DAQ,∴.
∵∠BAM=∠BCM,∠BCM+∠DCM=90°,∴.
(3)如圖,∵∠CEA=90°,∴點E在以AC為直徑的圓上,O為圓心,由題可得:OFCD=1,OE=OCAC.
∵OE+OF≥EF,∴當(dāng)EF經(jīng)過圓心O時,.
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【題目】南京某特產(chǎn)專賣店的銷售某種特產(chǎn),其進(jìn)價為每千克40元,若按每千克60元出售,則平均每天可售出100千克,后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),單價每降低3元,平均每天的銷售量增加30千克,若專賣店銷售這種特產(chǎn)想要平均每天獲利2240元,且銷量盡可能大,則每千克特產(chǎn)應(yīng)定價多少元?
(1)方法1:設(shè)每千克特產(chǎn)應(yīng)降價x元,由題意,得方程為:___.
方法2:設(shè)每千克特產(chǎn)降價后定價為x元,由題意,得方程為:___.
(2)請你選擇一種方法完成解答.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=kx+m交y軸于點C,與拋物線y=ax2+bx交于點A(4,0)、B(-,-).
(1)直線l的表達(dá)式為:______,拋物線的表達(dá)式為:______;
(2)若點P是二次函數(shù)y=ax2+bx在第四象限內(nèi)的圖象上的一點,且2S△APB=S△AOB,求△AOP的面積;
(3)若點Q是二次函數(shù)圖象上一點,設(shè)點Q到直線l的距離為d,到拋物線的對稱軸的距離為d1,當(dāng)|d-d1|=2時,請直接寫出點Q的坐標(biāo).
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接DG,過點A作AH∥DG,交BG于點H.連接HF,AF,其中AF交EC于點M.
(1)求證:△AHF為等腰直角三角形.
(2)若AB=3,EC=5,求EM的長.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)若k為正整數(shù),且方程有兩個非零的整數(shù)根,求k的取值.
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【題目】如圖,方格紙中的每個小正方形的邊長都為1,在建立平面直角坐標(biāo)系后,△ABC的頂點均在格點上.
(1)以點A為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB1C1,畫出△AB1C1.
(2)畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的△A2B2C2,若點C的坐標(biāo)為(﹣4,﹣1),則點C2的坐標(biāo)為 .
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【題目】某品牌電腦銷售公司有營銷員14人,銷售部為制定營銷人員月銷售電腦定額,統(tǒng)計了這14人某月的銷售量如下(單位:臺):
銷售量 | 200 | 170 | 130 | 80 | 50 | 40 |
人數(shù) | 1 | 1 | 2 | 5 | 3 | 2 |
(1)該公司營銷員銷售該品牌電腦的月銷售平均數(shù)是 臺,中位數(shù)是 臺,眾數(shù)是 臺.
(2)銷售部經(jīng)理把每位營銷員月銷售量定為90臺,你認(rèn)為是否合理?說明理由.
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【題目】中學(xué)生騎電動車上學(xué)的現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注.為此某媒體記者小李隨機(jī)調(diào)查了城區(qū)若干名中學(xué)生家長對這種現(xiàn)象的態(tài)度(態(tài)度分為:A:無所謂;B:反對;C:贊成)并將調(diào)査結(jié)果繪制成圖①和圖②的統(tǒng)計圖(不完整)請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)査中.共調(diào)査了______名中學(xué)生家長;
(2)將圖形①、②補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果.請你估計我市城區(qū)80000名中學(xué)生家長中有多少名家長持反對態(tài)度?
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