Question

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們常常會有“似曾相識“的感覺，如果我們把這些類似進行比較、加以聯(lián)想的話，可能出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法，這種把類似進行比較、聯(lián)想，從而解決問題的方法就是類比法，類比法是一種尋求解題思路，猜測問題答案或結(jié)論的發(fā)現(xiàn)方法．
如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線．
【嘗試探索】
經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有

 

條；平行四邊形有

 

條面積等分線．
【推理反思】
（1）按如圖1方式將大小不同的兩個正方形放在一起，若大正方形的面積是80cm²，則圖中陰影三角形的面積是

 

cm²．
（2）如圖2，C是線段AB上任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)構(gòu)造等邊三角形△ACD和等邊三角形△CBE，若△CBE的面積是1cm²，則圖中陰影三角形的面積是

 

cm²．
（3）結(jié)語：上述兩道小題的求解方法有很多值得借鑒的相似之處．
【類比拓展】
如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，AB≠CD，且S_△ABC＜S_△ACD，過點A畫出四邊形ABCD的面積等分線，并描述方法．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：【嘗試探索】：讀懂面積等分線的定義，不難得出：經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有3條；平行四邊形有無數(shù)條面積等分線．
【推理反思】（1）延長BA，EF交于點H，利用S_陰影=S_{長方形BCEH}-S_△ABC-S_△CEF-S_△AHF求解即可．
（2）由△ACD和△CBE等邊三角形，可得DC∥EB，從而得出S_△EDC=S_△BCD，由S_△DFC是S_△EDC和S_△BCD的公共部分，可得出S_△EDF=S_△BCF，即可得出S_△BDE=S_△CBE=1cm²．
【類比拓展】過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE由BE∥AC，且△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，可得S_△ABC=S_△AEC由S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．再由S_△ABC＜S_△ACD，可得面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線．

解答：解：【嘗試探索】：根據(jù)“面積等分線”的定義知，一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線，所以經(jīng)過三角形頂點的面積等分線有3條；只要經(jīng)過平行四邊形的兩條對角線交點的直線就是平行四邊形的面積等分線，所以平行四邊形面積等分線有無數(shù)條．
故答案為：3，無數(shù)．
【推理反思】（1）如圖1，延長BA，EF交于點H，

  S_陰影=S_{長方形BCEH}-S_△ABC-S_△CEF-S_△AHF=a（a+b）-

1

2

a²-

1

2

b（a+b）-

1

2

b（a-b）=

1

2

a²，
∵大正方形的面積是80cm²，即a²=80，
∴S_陰影=

1

2

a²=

1

2

×80=40cm²．
故答案為：40．
 （2）如圖2，

∵△ACD和△CBE等邊三角形，
∴∠DCA=∠EBC=60°，
∴DC∥EB，
∴S_△EDC=S_△BCD，
∵S_△DFC是S_△EDC和S_△BCD的公共部分，
∴S_△EDF=S_△BCF，
∴S_△BDE=S_△CBE=1cm²．
故答案為：1．
【類比拓展】
能，如圖3，連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE．

∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
∴S_△ABC=S_△AEC，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．
∵S_△ACD＞S_△ABC，
∴面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線，作圖如下：

點評：本題考查了學(xué)生的閱讀理解能力、運用作圖工具的能力，以及運用三角形、等底等高性質(zhì)等基礎(chǔ)知識解決問題的能力都有較高的要求，還滲透了由“特殊”到“一般”的數(shù)學(xué)思想．