【題目】如圖,AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G,且AB∥CD.連接OB、OC,延長CO交⊙O于點M,過點M作MN∥OB交CD于N.
(1)求證:MN是⊙O的切線;
(2)當(dāng)OB=6cm,OC=8cm時,求⊙O的半徑及MN的長.
【答案】(1)見解析;(2)4.8cm,MN=9.6cm.
【解析】
(1)先由切線長定理和平行線的性質(zhì)可求出∠OBC+∠OCB=90°,進(jìn)而可求∠BOC=90°,然后證明∠NMC=90°,即可證明MN是⊙O的切線;
(2)連接OF,則OF⊥BC,根據(jù)勾股定理就可以求出BC的長,然后根據(jù)△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑,通過證明△NMC∽△BOC,即可求出MN的長.
(1)證明:∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點E、F、G,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,
∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=180°﹣90°=90°.
∵MN∥OB,
∴∠NMC=∠BOC=90°,
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半徑,
∴MN是⊙O的切線;
(2)解:連接OF,則OF⊥BC,
由(1)知,△BOC是直角三角形,
∴BC===10,
∵S△BOC=OBOC=BCOF,
∴6×8=10×OF,
∴OF=4.8cm,
∴⊙O的半徑為4.8cm,
由(1)知,∠NCM=∠BCO,∠NMC=∠BOC=90°,
∴△NMC∽△BOC,
∴,即=,
∴MN=9.6(cm).
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【題目】如圖,∠BCD=90°,且BC=DC,直線PQ經(jīng)過點D.設(shè)∠PDC=α(45°<α<135°),BA⊥PQ于點A,將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,與直線PQ交于點E.
(1)當(dāng)α=125°時,∠ABC= °;
(2)求證:AC=CE;
(3)若△ABC的外心在其內(nèi)部,直接寫出α的取值范圍.
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【題目】已知:如圖,在ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于E,BF平分∠CBD,交CD于F.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)當(dāng)AD與BD滿足什么關(guān)系時,四邊形DEBF是矩形?請說明理由.
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【題目】如圖,在□ABCD中,點E是對角線BD上的一點,過點C作CF∥BD,且CF=DE,連接AE、BF、EF.
(1)求證:△ADE≌△BCF;
(2)若∠BFC-∠ABE=90°,判斷四邊形ABFE的形狀,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,動點P從點A開始沿邊AB向B以1cm/s的速度移動(不與點B重合),動點Q從點B開始沿邊BC向C以2cm/s的速度移動(不與點C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),那么經(jīng)過(。┟,四邊形APQC的面積最。
A.1B.2C.3D.4
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【題目】如圖,正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是一個單位長度,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,4),B(1,1),C(3,1).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1;
(2)畫出△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的條件下,求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留π).
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【題目】為了加快“智慧校園”建設(shè),某市準(zhǔn)備為試點學(xué)校采購一批、兩種型號的一體機(jī),經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),今年每套型一體機(jī)的價格比每套型一體機(jī)的價格多0.6萬元,且用960萬元恰好能購買500套型一體機(jī)和200套型一體機(jī).
(1)求今年每套型、型一體機(jī)的價格各是多少萬元
(2)該市明年計劃采購型、型一體機(jī)1100套,考慮物價因素,預(yù)計明年每套型一體機(jī)的價格比今年上漲25%,每套型一體機(jī)的價格不變,若購買型一體機(jī)的總費用不低于購買型一體機(jī)的總費用,那么該市明年至少需要投入多少萬元才能完成采購計劃?
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【題目】某校為了解九年級學(xué)生每周平均課外閱讀時間(單位: ), 隨機(jī)抽查了該學(xué)校九年級部分同學(xué),對其每周平均課外閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了如下的統(tǒng)計圖①和②,請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題;
該校抽查九年級學(xué)生的人數(shù)為_______,圖①中的 a值為______;
求統(tǒng)計的這組每周平均課外閱讀時間的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
若該校九年級共有名學(xué)生,根據(jù)統(tǒng)計的這組每周平均課外閱讀時間的樣本數(shù)據(jù),估計該校九年級每周平均課外閱讀時間為的學(xué)生人數(shù).
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,E、F是⊙O上的兩點,連結(jié)AE、CF、DF,滿足EA=CA.
(1)求證:AE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑是3,tan∠CFD=,求AD的長.
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