Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O為BC上一點，以O(shè)為圓心、OB為半徑的⊙O切AC于M，交BC于D，CD=2，OD=3．
（1）如圖1，求tan∠ACB及AM的長；
（2）如圖2，E為AB中點，CE、MB交于點N，求

EN

CN

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先運用切割線定理求出CM的長，然后運用勾股定理求出AB的長，問題即可解決．
（2）作平行線，構(gòu)造相似三角形，運用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，

∵CD=2，OD=3，
∴CB=2+6=8；
∵AC為⊙O的切線，
∴CM²=CD•CB，
∴CM=

2×8

=4；
∵∠ABC=90°，AM為⊙O的切線，
∴AB=AM（設(shè)為x）．
由勾股定理得：（x+4）²=x²+8²，
解得x=6；
tan∠ABC=

AB

BC

=

6

8

=

3

4

；
∴tan∠ACB及AM的長分別為

3

4

，6．

（2）如圖2，過點C作CP∥AB，交BM的延長線于點P；

則△BEN∽△PCN，△ABM∽△CPM，
∴

EN

CN

=

BE

CP

，

AB

PC

=

AM

MC

；
∵AB=AM．
∴PC=MC=4；
又∵E為AB中點，
∴BE=

1

2

AB=3，
∴

EN

CN

=

3

4

．

點評：該題在考查切割線定理及其應(yīng)用問題的同時，還考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、相似三角形的判定等幾何知識的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定理來解題．