Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為D，直線PD交直線BC于點(diǎn)E．
（1）求證：PE=PB；
（2）若AP=2，求CE的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)以BE為直徑的圓和⊙P外切時(shí)，求⊙P的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠PDA，進(jìn)而得出∠PBE=∠PEB，求出即可；
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)BE的中點(diǎn)為QM，連接PM，AP=x，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PM⊥BE，由切線的性質(zhì)可得出PM=BM，由此可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵PA=PD，
∴∠A=∠PDA，
∵∠EDC=∠PDA，∴∠A=∠EDC，
∵AC⊥BC，
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（2）解：∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，

BC

EC

=

AB

DE

．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
∵AP=2，
∴PB=PE=3，DE=1，
∴

3

EC

=

5

1

，
解得：CE=

3

5

；

（3）解：設(shè)M為BE的中點(diǎn)，則PM⊥BE，
若⊙P的半徑為x，
則PB=5-x，PM=（5-x）sin∠ABC=

4

5

(5-x)，
BM=（5-x）cos∠ABC=

3

5

(5-x)，
∵⊙P與⊙M外切，
∴

4

5

(5-x)=

3

5

(5-x)+x 
解得：x=

5

6

∴⊙P的半徑為

5

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，得出△ABC∽△DEC是解題關(guān)鍵．