Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（1，6）、B（m，2）．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式；
（2）直接寫(xiě)出不等式ax+b-

k

x

＞0的解集；
（3）如圖，作等腰梯形OBCD．其中，點(diǎn)D在x軸上，BC∥OD，OB=CD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，且與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)P恰為CE的中點(diǎn)時(shí)，求梯形OBCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,等腰梯形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可以求出兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式．
（2）設(shè)y₁=ax+b，y₂=

k

x

（x＞0），如圖1，結(jié)合圖象即可解決問(wèn)題．
（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸，垂足為H，如圖2，由條件可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可以求出BC、OD的長(zhǎng)，就可求出梯形OBCD的面積．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，6）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴k=1×6=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

（x＞0）．
∵點(diǎn)B（m，2）在反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象上，
∴2m=6，即m=3．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2）．
∵點(diǎn)A（1，6）、B（3，2）在一次函數(shù)y=ax+b的圖象上，
∴

a+b=6 3a+b=2

．
解得：

a=-2 b=8

．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+8．

（2）設(shè)y₁=ax+b，y₂=

k

x

（x＞0），如圖1，
結(jié)合圖象可得：當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y₁＞y₂，即ax+b＞

k

x

．
因而不等式ax+b-

k

x

＞0的解集為1＜x＜3．

（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸，垂足為H，如圖2，
∵BC∥OD，CE⊥x軸，B（3，2），
∴CE=2，OB=

32+22

=

13

．
∴CD=OB=

13

．
∴ED=

CD2-CE2

=3．
∵點(diǎn)P為CE的中點(diǎn)，
∴PE=1．
∴y_P=1．
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象上，
∴x_P=6．
∴OE=6，x_C=x_P=6．
∴OD=OE+ED=9，BC=6-3=3．
∴S_梯形OBCD=

1

2

（BC+OD）•CE=

1

2

（3+9）×2=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、等腰梯形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，有一定的綜合性．