【題目】如圖,拋物線y=x2+2x+k+1x軸交與A、B兩點(diǎn),與y軸交與點(diǎn)C(0,-3).

(1)求拋物線的對(duì)稱軸及k的值;

(2)求拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得PA+PC的值最小,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),且在第三象限.

當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AMCB的面積最大?求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)y=(x+1)2-4,直線x=-1(2)(-1,-2)(3)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,-)時(shí),四邊形AMCB的面積最大,最大值為

【解析】

(1)由拋物線y=x2+2x+k+1y軸交于點(diǎn)C(0,-3),即可將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,解方程即可求得k的值,由拋物線y=x2+2x+k+1即可求得拋物線的對(duì)稱軸為:x=-1;

(2)連接AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則PA+PC的值最小,求得AC的坐標(biāo),設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式,則可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(x,(x+1)2-4),即可得SAMB=×4×|(x+1)2-4|,由二次函數(shù)的最值問題,即可求得AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo);

②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(x,(x+1)2-4),然后過點(diǎn)MMDABD,由S四邊形ABCM=SOBC+SADM+S梯形OCMD,根據(jù)二次函數(shù)的最值問題的求解方法,即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

(1)∵拋物線y=x2+2x+k+1y軸交于點(diǎn)C(0,-3),

-3=1+k,

k=-4,

∴拋物線的解析式為:y=(x+1)2-4,

∴拋物線的對(duì)稱軸為:直線x=-1;

(2)

如圖1,連接AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P,則PA+PC的值最小,

當(dāng)y=0時(shí),(x+1)2-4=0,

解得:x=-3x=1,

AB的左側(cè),

A(-3,0),B(1,0),

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,則

,

解得

∴直線AC的解析式為:y=-x-3,

當(dāng)x=-1時(shí),y=-(-1)-3=-2,

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(-1,-2);

(3)如圖2,點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),且在第三象限,

-3<x<0;

①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(x,(x+1)2-4),

AB=1-(-3)=4,

SAMB=×4×|(x+1)2-4|=2|(x+1)2-4|,

∵點(diǎn)M在第三象限,

SAMB=8-2(x+1)2,

∴當(dāng)x=-1時(shí),即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,-4)時(shí),AMB的面積最大,最大值為8;

②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為:(x,(x+1)2-4),

如圖3,過點(diǎn)MMDABD,則

S四邊形ABCM=SOBC+SADM+S梯形OCMD

=×3×1+×(3+x)×[4-(x+1)2]+×(-x)×[3+4-(x+1)2]

=-(x2+3x-4)

=-(x+2+,

∴當(dāng)x=-時(shí),y=(-+1)2-4=-,

即當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-,-)時(shí),四邊形AMCB的面積最大,最大值為

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