【題目】如圖,正方形AOCB的邊長為4,反比例函數(shù)的圖象過點E(3,4).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點D,直線過點D,與線段AB相交于點F,求點F的坐標(biāo);
(3)連接OF,OE,探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(4)若點P是x軸上的動點,點Q是(1)中的反比例函數(shù)在第一象限圖象上的動點,且使得△PDQ為等腰直角三角形,請求出點P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=;(2)點F的坐標(biāo)為(2,4);(3)∠AOF=∠EOC,理由見解析;(4)P的坐標(biāo)是(,0)或(-5,0)或(,0)或(5,0)
【解析】
(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=,把點E(3,4)代入即可求出k的值,進而得出結(jié)論;
(2)由正方形AOCB的邊長為4,故可知點D的橫坐標(biāo)為4,點F的縱坐標(biāo)為4,由于點D在反比例函數(shù)的圖象上,所以點D的縱坐標(biāo)為3,即D(4,3),由點D在直線上可得出b的值,進而得出該直線的解析式,再把y=4代入直線的解析式即可求出點F的坐標(biāo);
(3)在CD上取CG=AF=2,連接OG,連接EG并延長交x軸于點H,由全等三角形的判定定理可知△OAF≌△OCG,△EGB≌△HGC(ASA),故可得出EG=HG,設(shè)直線EG的解析式為y=mx+n,把E(3,4),G(4,2)代入即可求出直線EG的解析式,故可得出H點的坐標(biāo),在Rt△AOF中,AO=4,AE=3,根據(jù)勾股定理得OE=5,可知OC=OE,即OG是等腰三角形底邊EF上的中線,所以OG是等腰三角形頂角的平分線,由此即可得出結(jié)論;
(4)分△PDQ的三個角分別是直角,三種情況進行討論,作DK⊥x軸,作QR⊥x軸,作DL⊥QR,于點L,即可構(gòu)造全等的直角三角形,設(shè)出P的坐標(biāo),根據(jù)點在圖象上,則一定滿足函數(shù)的解析式即可求解,
解:
(1)設(shè)反比例函數(shù)的解析式y=,
∵反比例函數(shù)的圖象過點E(3,4),
∴4=,即k=12,
∴反比例函數(shù)的解析式y=;
(2)∵正方形AOCB的邊長為4,
∴點D的橫坐標(biāo)為4,點F的縱坐標(biāo)為4,
∵點D在反比例函數(shù)的圖象上,
∴點D的縱坐標(biāo)為3,即D(4,3),
∵點D在直線y=﹣x+b上,
∴3=﹣×4+b,
解得:b=5,
∴直線DF為y=﹣x+5,
將y=4代入y=﹣x+5,
得4=﹣x+5,
解得:x=2,
∴點F的坐標(biāo)為(2,4),
(3)∠AOF=∠EOC,理由為:
證明:在CD上取CG=AF=2,連接OG,連接EG并延長交x軸于點H,
,
∴△OAF≌△OCG(SAS),
∴∠AOF=∠COG,
,
∴△EGB≌△HGC(ASA),
∴EG=HG,
設(shè)直線EG:y=mx+n,
∵E(3,4),G(4,2),
∴,
解得,
∴直線EG:y=﹣2x+10,
令y=﹣2x+10=0,得x=5,
∴H(5,0),OH=5,
在Rt△AOE中,AO=4,AE=3,根據(jù)勾股定理得OE=5,
∴OH=OE,
∴OG是等腰三角形底邊EH上的中線,
∴OG是等腰三角形頂角的平分線,
∴∠EOG=∠GOH,
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,
即∠AOF=∠EOC;
(4)當(dāng)Q在D的右側(cè)(如圖1),且∠PDQ=90°時,作DK⊥x軸,作QL⊥DK,于點L,
則△DPK≌△QDK,
設(shè)P的坐標(biāo)是(a,0),則KP=DL=4-a,QL=DK=3,則Q的坐標(biāo)是(4+3,4-3+a)即(7,-1+a),
把(7,-1+a)代入y=得:
7(-1+a)=12,
解得:a=,
則P的坐標(biāo)是(,0);
當(dāng)Q在D的左側(cè)(如圖2),且∠PDQ=90°時,作DK⊥x軸,作QR⊥x軸,作DL⊥QR,于點L,
則△QDL≌△PDK,
則DK=DL=3,設(shè)P的坐標(biāo)是b,則PK=QL=4-b,則QR=4-b+3=7-b,OR=OK-DL=4-3=1,
則Q的坐標(biāo)是(1,7-b),代入y=得:
b=-5,
則P的坐標(biāo)是(-5,0);
當(dāng)Q在D的右側(cè)(如圖3),且∠DQP=90°時,作DK⊥x軸,作QR⊥x軸,作DL⊥QR,于點L,
則△QDL≌△PQK,則DK=DL=3,
設(shè)Q的橫坐標(biāo)是c,則縱坐標(biāo)是,
則QK=QL=,
又∵QL=c-4,
∴c-4=,
解得:c=-2(舍去)或6,
則PK=DL=DR-LR=DR-QK=3-=1,
∴OP=OK-PK=6-1=5,
則P的坐標(biāo)是(5,0);
當(dāng)Q在D的左側(cè)(如圖3),且∠DQP=90°時,不成立;
當(dāng)∠DPQ=90°時,(如圖4),作DK⊥x軸,作QR⊥x軸,
則△DPR≌△PQK,
∴DR=PK=3,RP=QK,
設(shè)P的坐標(biāo)是(d,0),
則RK=QK=d-4,
則OK=OP+PK=d+3,
則Q的坐標(biāo)是(d+3,d-4),代入y=得:
(d+3)(d-4)=12,
解得:d=或(舍去),
則P的坐標(biāo)是(,0),
綜上所述,P的坐標(biāo)是(,0)或(-5,0)或(,0)或(5,0),
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩家藍莓采摘園的藍莓品質(zhì)相同,銷售價格都是每千克30元,兩家均推出了“周末”優(yōu)惠方案.甲采摘園的優(yōu)惠方案是:游客進園需購買60元的門票,采摘的藍莓六折優(yōu)惠;乙采摘園的優(yōu)惠方案是:游客進園不需要購買門票,采摘的藍莓超過10千克后,超過部分五折優(yōu)惠.優(yōu)惠期間,設(shè)某游客的藍莓采摘量為千克,在甲采摘園所需總費用為元,在乙采摘園所需總費用為元.
(1)求,關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)該游客如何選擇采摘園去采摘比較合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)店銷售某款童裝,每件售價60元,每星期可賣300件,為了促銷,該網(wǎng)店決定降價銷售.市場調(diào)查反映:每降價1元,每星期可多賣30件.已知該款童裝每件成本價40元,設(shè)該款童裝每件售價x元,每星期的銷售量為y件.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每件售價定為多少元時,每星期的銷售利潤最大,最大利潤多少元?
(3)若該網(wǎng)店每星期想要獲得不低于6480元的利潤,每星期至少要銷售該款童裝多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+2x+k+1與x軸交與A、B兩點,與y軸交與點C(0,-3).
(1)求拋物線的對稱軸及k的值;
(2)求拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA+PC的值最小,求此時點P的坐標(biāo);
(3)點M是拋物線上的一動點,且在第三象限.
①當(dāng)M點運動到何處時,△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標(biāo).
②當(dāng)M點運動到何處時,四邊形AMCB的面積最大?求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,過B作一直線與CD相交于點E,過A作AF垂直BE于點F,過C作CG垂直BE于點G,在FA上截取FH=FB,再過H作HP垂直AF交AB于P.若CG=3.則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為 _________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中錯誤的有( )
①當(dāng)AB=BC時,它是菱形;②當(dāng)AC⊥BD時,它是菱形;③當(dāng)∠ABC=90°時,它是矩形;④當(dāng)AC=BD時,它是正方形.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=∠BAD,延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,下列結(jié)論:①△ABE≌△ADG;②△AEF≌△AGF;③EF=BE+DF;④AD+BE>AF,正確的有__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)的重要著作,方程術(shù)是它的最高成就,其中記載:今有牛五、羊二,直金十兩;牛二、羊五,直金八兩。問:牛、羊各直金幾何?譯文:“假設(shè)有 5 頭牛、2 只羊,值金 10 兩;2 頭牛、5 只羊,值金 8 兩。問:每頭牛、每只羊各值金多少兩?” 設(shè)每頭牛值金 x 兩,每只羊值金 y 兩,則列方程組錯誤的是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在鈍角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,動點D從A點出發(fā)到B點止,動點E從C點出發(fā)到A點止.點D運動的速度為1cm/秒,點E運動的速度為2cm秒.如果兩點同時運動,那么當(dāng)以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時,運動的時間是( )
A. 3或2.8 B. 3或4.8 C. 1或4 D. 1或6
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