【題目】如圖,點A為平面直角坐標系第一象限內一點,直線y=x過點A,過點AADy軸于點D,點By軸正半軸上一動點,連接AB,過點AACABx軸于點C.

(1)如圖,當點B在線段OD上時,求證:AB=AC;

(2)①如圖,當點BOD延長線上,且點Cx軸正半軸上, OAOB、OC之間的數(shù)量關系為________(不用說明理由);

②當點BOD延長線上,且點Cx軸負半軸上,寫出OA、OBOC之間的數(shù)量關系,并說明原因.

(3)直線BC分別與直線AD、直線y=x交于點E、F,若BE=5,CF=12,直接寫出AB的長.

【答案】(1)證明見解析;(2)OA=OC+OB);②OA=OB-OC);(3)10; 15

【解析】

1)過點AAEOC于點E,先證明四邊形ADOE是正方形,再證明RtADBRtAECAAS),從而求得結論;(2)①過點AAEOC于點E,方法同(1)證明四邊形ADOE是正方形,RtADBRtAEC,AOD是等腰直角三角形,再應用勾股定理即可得結論OA=OC+OB);②方法同①得結論:OA=OB-OC);(3)①當點B在線段OD上時,將AFC繞點A順時針旋轉90°ACAB重合,變?yōu)?/span>ABF′,連接EF′,證明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13,再證明AEF≌△AEF′,所以EF= EF′=13,BF=EF-EB=13-5=8BC=BF+FC=8+12=20,而ABC是等腰直角三角形,所以AB==10; ②當點BOD延長線上,且點Cx軸正半軸上時,方法同①,解得:AB=15;③當點BOD延長線上,且點Cx軸負半軸上時,方法同上,解得:AB=3 .

1)過點AAEOC于點E,

ADy,點Ay=x上,∠DOE=90°

∴四邊形ADOE是矩形,AE=OE,

∴矩形ADOE是正方形,

AD=AE,DAE=BAC=90°,

∴∠DAB=EAC

又∵∠BDA=CEA=90°

RtADBRtAEC

AB=AC.

(2) 過點AAEOC于點E,

方法同(1)得,四邊形ADOE是正方形,RtADBRtAEC,AB=AC,BD=CE

OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD,即OD=OC+OB

又∵△AOD是等腰直角三角形,

∴由勾股定理得:OA=OD =×OC+OB=OC+OB),

OA=OC+OB),

②過點AAEOC于點E,

方法同(1)得,四邊形ADOE是正方形,RtADBRtAEC,AB=AC,BD=CE,

OB-OD=OC+OE,即OB-OC=OD+OE=2OD=OA

又∵△AOD是等腰直角三角形,

∴由勾股定理得:OA=ODOD= OA ,

OB-OC= OD+OE=2OD=OA,即OB-OC=OA,OA=OB-OC

3)①當點B在線段OD上時,

AFC繞點A順時針旋轉90°ACAB重合,變?yōu)?/span>ABF′,連接EF′,BF′=CF=12,∠ACB=ABC=ABF′=45°,∠CBF′=ABC+ABF′=90°,所以∠EBF′=90°,

又∵BE=5,∴EF′=13,

∵∠F′AO=90° FAE=F′AE=45°,AE=AE,AF=AF′

∴△AEF≌△AEF′

EF= EF′=13,BF=EF-EB=13-5=8,BC=BF+FC=8+12=20

由(1)得:ABC是等腰直角三角形,∴AB==10;

②當點BOD延長線上,且點Cx軸正半軸上時,

方法同①,旋轉AFCAF′B,證出∠EBF′,EF′=13=EF,BC=BE+EF+FC=5+13+12=30,所以等腰直角三角形ABC的直角邊AB=15;

③當點BOD延長線上,且點Cx軸負半軸上,

已證ABC是等腰直角三角形,

過點BBF′BC于點B,截取 BF′=CF=12, 連接F′E、F′A,∵BE=5,

∴∠ABF′=ACF=135°,EF′=13

AB=AC,

∴△ABF′≌△ACF,可得AF′=AF,∠BAF′=CAF,

∴∠BAC=F′AF=90°,

∵∠EAF=45°,

∴∠EAF=45°=EAF′,又AE=AE

∴△EAF≌△EAF′,

EF=EF′=13EC=EF-CF=13-12=1,BC=BE+EC=1+5=6,

∴在等腰直角三角形ABC中,直角邊AB=3.

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