【題目】如圖,Rt△ABC中,AB=AC=8,BO=AB,點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),將線段OM繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至ON,連接AN、CN,則△CAN周長(zhǎng)的最小值為________.
【答案】8+4.
【解析】
過(guò)點(diǎn)O作OB′⊥AB于點(diǎn)O,交BC于點(diǎn)B′,連接B′N并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,易證△BOM≌△B′ON(SAS),∴點(diǎn)N始終在經(jīng)過(guò)點(diǎn)B′且與BC垂直的射線上,因?yàn)?/span>△CAN周長(zhǎng)=CA+AN+CN=8+ AN+CN,所以AN+CN值最小時(shí),周長(zhǎng)最小,屬于最短路徑問(wèn)題,關(guān)鍵找點(diǎn)C關(guān)于B′E的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接A C′,與B′E的交點(diǎn)N′即為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)N,此時(shí)AN+CN=AC′,求出AC′的值即可求出周長(zhǎng)最小值.
解:過(guò)點(diǎn)O作OB′⊥AB于點(diǎn)O,交BC于點(diǎn)B′,連接B′N并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E,∵Rt△ABC中,AB=AC,
∴∠OBB′=45°=∠OB′B,OB =OB′
又∵∠BOB′=∠MON=90°
∴∠BOM=∠B′ON
∴△BOM≌△B′ON(SAS)
∴∠OBB′=45°=∠OB′N,即∠BB′N=90°,OB′= OB=2,BB′=2 ,
∴點(diǎn)N始終在經(jīng)過(guò)點(diǎn)B′且與BC垂直的射線上,
易證△BB′E是等腰直角三角形,BE=4,即BE=AE,
∵△CAN周長(zhǎng)=CA+AN+CN=8+ AN+CN
∴AN+CN值最小時(shí),周長(zhǎng)最小,屬于最短路徑問(wèn)題,
∴找點(diǎn)C關(guān)于B′E的對(duì)稱點(diǎn)C′,連接A C′,與B′E的交點(diǎn)N′即為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)N,此時(shí)AN+CN=AC′,
等腰直角三角形△BB′E中, 由勾股定理得BB′=2,
等腰直角三角形△ABC中, BC=8 由三線合一得:BD=DC=AD=BC=4,
∴B′C=BC- BB′=8-2=6,由對(duì)稱性得:B′C=B′C′=6,
∴C′D=12-4=8,
即:Rt△AC′D中,A C′= ==4
∴△CAN周長(zhǎng)的最小值=8+ AN+CN=8+4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、、.
(1)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí),求的面積;
(2)當(dāng)軸時(shí),求、兩點(diǎn)之間的距離;
(3)若是軸上一點(diǎn),且滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(分)如圖,拋物線的頂點(diǎn)為.
()求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
()若拋物線形與關(guān)于軸對(duì)稱,求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.
()在()的基礎(chǔ)上,設(shè)上的點(diǎn)、始終與上的點(diǎn)、分別關(guān)于軸對(duì)稱,是否存在點(diǎn)、(、分別位于拋物線對(duì)稱軸兩側(cè),且在的左側(cè)),使四邊形為正方形?
若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,為的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線分別與、交于點(diǎn)、,連接交于點(diǎn),連接、.若,,則下列結(jié)論:①;②;③四邊形是菱形;④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是菱形,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.若點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與軸相交于點(diǎn),連接.
(1)求菱形的邊長(zhǎng);
(2)證明為直角三角形;
(3)直線上是否存在一點(diǎn)使得的面積與的面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A為平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)一點(diǎn),直線y=x過(guò)點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D,點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn),連接AB,過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)B在線段OD上時(shí),求證:AB=AC;
(2)①如圖,當(dāng)點(diǎn)B在OD延長(zhǎng)線上,且點(diǎn)C在x軸正半軸上, OA、OB、OC之間的數(shù)量關(guān)系為________(不用說(shuō)明理由);
②當(dāng)點(diǎn)B在OD延長(zhǎng)線上,且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上,寫(xiě)出OA、OB、OC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明原因.
(3)直線BC分別與直線AD、直線y=x交于點(diǎn)E、F,若BE=5,CF=12,直接寫(xiě)出AB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有一枚質(zhì)地均勻的正二十面體形狀的骰子,其中的1個(gè)面標(biāo)有“1”,2個(gè)面標(biāo)有“2”,3個(gè)面標(biāo)有“3”,4個(gè)面標(biāo)有“4”,5個(gè)面標(biāo)有“5”,其余的面標(biāo)有“6”.將這枚骰子擲出后,求:
(1)“6”朝上的概率是多少?
(2)哪個(gè)數(shù)字朝上的概率最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi),其中∠CAB=90°,BC=5,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,0),將△ABC沿x軸向右平移,當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x-6上時(shí),線段BC掃過(guò)的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D,則下面的結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為( )
①AB與AC互相垂直;
②AD與AC互相垂直;
③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB;
④線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離;
⑤線段AB是B點(diǎn)到AC的距離.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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