Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，ED所在直線是線段AB的垂直平分線，若直線ED分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F，連接BE，求證：EF=2DE．

Answer 1

考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：證明題

分析：求出∠ABC=60°，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得出∠EDA=90°，AE=BE，求出∠AED=60°，∠ABE=∠A=30°，求出∠EBC=∠ABE，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出EC=DE，求出EF=2CE，即可得出答案．

解答：證明：∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∵ED所在直線是線段AB的垂直平分線，
∴∠EDA=90°，AE=BE，
∵∠A=30°，
∴∠AED=60°，∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBC=30°=∠ABE，
∵∠ACB=90°，ED⊥AB，
∴CE=DE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=90°，
∵∠FEC=∠AED=60°，
∴∠F=30°，
∴EF=2CE，
∵EC=DE，
∴EF=2DE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．