Question

已知在平面直角坐標(biāo)系中，點A、C分別在y軸、x軸上，并且OA、OC是方程x²-12x+32=0的兩根（OA＜OC），AB⊥y軸、BC⊥x軸，將OC沿對角線OB進(jìn)行翻折得到OD．求：
（1）點A、點B的坐標(biāo)；
（2）直線OD的解析式；
（3）在直線OB上是否存在點E，使O、D、E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）可求得方程的兩根分別為4和8，且OA＜OC，所以求得OA=4，OC=8，又由AB⊥y軸、BC⊥x軸，可知四邊形OABC為矩形，所以可求出A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）由翻折可知∠DOC=2∠BOC，且tan∠BOC=

4

8

=

1

2

，所以可求得直線OD的解析式，可求其方程；
（3）可以求得OB的直線方程，分三種情況分別求E點即可．

解答：解：
（1）解方程可知方程兩根分別為4和8，且OA＜OC，
所以O(shè)A=4，OC=8，
又由AB⊥y軸、BC⊥x軸，可知四邊形OABC為矩形，
所以A點坐標(biāo)為（0，4），B點坐標(biāo)為（8，4）；

（2）由翻折可知∠DOC=2∠BOC，且tan∠BOC=

4

8

=

1

2

，
所以直線OD的斜率為：k=tan∠DOC=

2tan∠BOC

1-tan2∠BOC

=

4

3

，
所以直線OD的解析式為y=

4

3

x；

（3）B點為（8，4），所以可設(shè)直線OB的解析式為y=mx，代入B點坐標(biāo)，可求得m=

1

2

，所以直線OB的解析式為y=

1

2

x，
在直線OB上有三個點可使△OCE為等腰三角形，
①以O(shè)D為底邊，在直線OB上確定E₁點，以E₁點到OD距離為高，組成等腰三角形，
因為D點坐標(biāo)為（4.8，6.4），所以O(shè)D中點坐標(biāo)為（2.4，3.2），
所以O(shè)D中垂線的方程為：y=-

3

4

x+5，與OB所在直線方程聯(lián)立可得方程組

y= 1 2 x y=- 3 4 x+5

，解得

x=4 y=2

，即E₁坐標(biāo)為（4，2）；
②以O(shè)D為一腰，在OB直線上確定E₂點使OD=OE₂，組成等腰三角形，
在OB所在直線上取點E₂，使得OE₂=OD=8，可求得E₂坐標(biāo)為（

16 5

5

，

8 5

5

），
③以O(shè)D為腰，在OB所在直線上確定E₃點，以O(shè)E₃為底，組成等腰三角形，
建立垂直于OB且過D點的方程，則直線的斜率為-2，且D為（4.8，6.4），所以其方程為y=-2x+16，
與OB方程聯(lián)立得方程組：

y= 1 2 x y=-2x+16

，解得

x=6.4 y=3.2

，而E₃坐標(biāo)為該值的2倍，所以E₃為（12.8，6.4），
綜上可知存在滿足條件的E點，坐標(biāo)分別為（4，2）、（

16 5

5

，

8 5

5

）和（12.8，6.4）．

點評：本題主要考查一次函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，對（1）中掌握求點的坐標(biāo)的方法，對（2）中利用翻折得到角之間的關(guān)鍵，對（3）中正確分類是解題的關(guān)鍵．