Question

【題目】（1）（學習心得）

于彤同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．

例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝　 　°．

（2）（問題解決）

如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數．

（3）（問題拓展）

如圖3，如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是　 　．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）∠BAC＝25°；（3）﹣1

【解析】

（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．

（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC，

（3）根據正方形的性質可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據全等三角形對應角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點O，連接OH、OD，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據三角形的三邊關系可知當O、D、H三點共線時，DH的長度最�。�

解：（1）如圖1，

∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以點A為圓心，點B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，

∴∠BDC＝∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如圖2，取BD的中點O，連接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴點A、B、C、D共圓，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，

∴∠BAC＝25°，

（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1＝∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，

∴∠1+∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中點O，連接OH、OD，

則OH＝AO＝AB＝1，

在Rt△AOD中，OD＝，

根據三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，

∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，

最小值＝OD﹣OH＝﹣1．

故答案為：﹣1．