【題目】(1)觀察推理:如圖 1,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,直線 L 過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn) A,B 在直線 L 同側(cè),BD⊥L, AE⊥L,垂足分別為D,E

求證:△AEC≌△CDB

(2)類比探究:如圖 2,RtABC 中,∠ACB=90°,AC=4,將斜邊 AB 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90° AB’, 連接B’C,求AB’C 的面積

(3)拓展提升:如圖 3,等邊EBC ,EC=BC=3cm,點(diǎn) O BC 上且 OC=2cm,動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) E 沿射線EC 1cm/s 速度運(yùn)動(dòng),連接 OP,將線段 OP 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120°得到線段 OF,設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 秒。

當(dāng)t= 時(shí),OF∥ED

若要使點(diǎn)F 恰好落在射線EB 上,求點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)8;(3)1;4s.

【解析】

(1)先利用等角的余角相等得到 ,則可根據(jù)“AAS”證明 ;
(2)作B′D⊥AC于D,如圖2,先證明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4,然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算;
(3)因?yàn)?/span>OF∥ED,所以∠POF+∠OPC=180°,因?yàn)?/span>∠POF=120°,所以∠OPC=60°,因?yàn)椤鰾EC是等邊三角形,所以∠BCE=60°=∠OPC,∠E=∠OPC=60°,△COP是等邊三角形,PC=OC,即可求解;如圖3,利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 ,OP=OF,再證明 得到PC=OB=1,則BP=BC+PC=4,然后計(jì)算點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t.

(1)如圖1,

∵BD⊥l,AE⊥l,

∴∠AEC=∠BDC=90°,

∵∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°,

∴∠EAC=∠BCD,

在△AEC和△CDB

∴△AEC≌△CDB;

(2)B′D⊥ACD,如圖2,

∵斜邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°AB′,

∴AB′=AB,∠B′AB=90°,

即∠B′AC+∠BAC=90°,

而∠B+∠CAB=90°,

∴∠B=∠B′AC,

在△B′AD和△ABD

,

∴△B′AD≌△ABD,

∴B′D=AC=4,

∴△AB′C的面積=×4×4=8;

(3)①由題意得:EP=t,則PC=3﹣t,

如圖4,∵OF∥ED

∴∠POF+∠OPC=180°,

∵∠POF=120°,

∴∠OPC=60°,

∵△BEC是等邊三角形,

∴∠BCE=60°=∠OPC,

∴∠E=∠OPC=60°,

∴△COP是等邊三角形

∴PC=OC=2,

∴2=3﹣t,

∴t=1,

即當(dāng)t=1秒時(shí),OF∥ED,

故答案為:1;

②如圖3,∵OC=2,

∴OB=BC﹣OC=1,

∵線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF,

∴∠FOP=120°,OP=OF,

∴∠1+∠2=60°,

∵△BCE為等邊三角形,

∴∠BCE=∠CBE=60°,

∴∠FBO=120°,∠PCO=120°,

∴∠2+∠3=∠BCE=60°,

∴∠1=∠3,

在△BOF和△CPO,

,

∴△BOF≌△CPO,

∴PC=OB=1,

∴BP=BC+PC=3+1=4,

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t==4s.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. 45°

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(1,3)(1,5),(3,3)(1,3);

(5,1)(3,-1),(3,1),(5,1);

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(2)若將該二次函數(shù)圖象向下平移m(m>0)個(gè)單位,使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部(不包括△ABC的邊界),求m的取值范圍;
(3)點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)P,點(diǎn)C,點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似,請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果,不必寫解答過(guò)程).

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A.
B.
C.
D.

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