Question

如圖，在△ABC中，D為AB邊的中點，DP⊥AB交∠ACB的平分線于點P，PM⊥AC于點M，PN⊥BC交CB的延長線于點N，求證：CM=BC+AM．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,角平分線的性質,線段垂直平分線的性質

專題：證明題

分析：連接AP，BP，易證PM=PN和AP=BP，即可證明RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN，可得AM=BN和CM=CN，即可解題．

解答：證明：連接AP，BP，

∵CP是∠ACB平分線，
∴PM=PN，
∵PD⊥AB，D是AB中點，
∴AP=BP，
在RT△APM和RT△BPN中，

AP=BP PM=PN

，
∴RT△APM≌RT△BPN（HL），
∴AM=BN，
在RT△CPM和RT△CPN中，

CP=CP PM=PN

，
∴RT△CPM≌RT△CPN（HL），
∴CM=CN，
∵CN=BC+BN，
∴CM=BC+AM．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN是解題的關鍵．