Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，分別以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接DE，交AB于點F，求證：DF=EF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：證明題

分析：作EG⊥AC交AB于G，連接DG可得EG=AB進而可以證明AD平行且等于EG則有四邊形AEGD為平行四邊形AG和DE分別是對角線，且相交于F平行四邊形對角線互相平分，所以有EF=FD得證．

解答：證明：作DG⊥AB于點G，．
則∠FGB=∠DGB=90°，
所以∠DGB=∠ACB=90°，
∵△ABD為等邊三角形，
∴∠GBD=60°=∠CBA，
在△DBG和△ABC中，

∠DGB=∠ACB ∠GBD=∠CBA BD=AB

，
∴△DBG≌△ABC（AAS），
∴DG=AC，
∵△ACE為等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AC=AE，
∴DG=AE，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=90°=∠DGF，
在△AEF和△GDF中，

∠DFG=∠EFA FG=FG ∠BAE=∠DGF

，
∴△AEF≌△GDF（ASA）
∴EF=DF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△AEF≌△GDF是解題的關鍵．