Question

【題目】已知，數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1，5，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．

（1）若點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等，求點(diǎn)A、B的距離及x的值．

（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最小？若存在，請(qǐng)求出最小值；并求出取得最小值時(shí)x可以取的整數(shù)值；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）點(diǎn)A、B分別以3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P以4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到A時(shí)，點(diǎn)P立即以不變的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到B時(shí)，點(diǎn)P立即以不變的速度向左運(yùn)動(dòng)，并不停往返于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，求當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的總路程是多少？

Answer 1

【答案】（1）1，5，2；（2）存在，最小值為6，x可以取的整數(shù)值有1、0、1、2、3、4、5；（3）48

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)軸上的兩點(diǎn)距離公式和中點(diǎn)公式列式求解即可；

（2）分類討論點(diǎn)P分別在點(diǎn)A左側(cè)、點(diǎn)A、點(diǎn)B之間、點(diǎn)B右側(cè)時(shí)分別求出，進(jìn)行比較即可求出最小值；

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，根據(jù)點(diǎn)A比點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的距離多6，列出方程，求出t的值，即為點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再乘以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度，即可得點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的總路程．

解：（1）∵點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1，5，

∴，即點(diǎn)A、B的距離為6；

∵點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離相等，則P為AB中點(diǎn)，

則有：，所以；

（2）數(shù)軸上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最小，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和為：PA+PB=2PA+AB=2PA+6，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和為：PA+PB=AB=6，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和為：PA+PB=2PB+AB=2PA+6，

所以當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間時(shí)（含點(diǎn)A、點(diǎn)B），點(diǎn)P到點(diǎn)A、B的距離之和最小，最小值為6，

點(diǎn)A、點(diǎn)B之間的整數(shù)值有1、0、1、2、3、4、5，即為x可以取的整數(shù)值；

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)t分鐘點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，依題意得：

1+3t=5+2t+6，解得：t=12，

所以4t=4×12=48，

所以點(diǎn)P所經(jīng)過(guò)的總路程是48個(gè)單位長(zhǎng)度．