【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),∠BAC的平分線AD交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D垂直于AC的直線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)如果AD=5,AE=4,求AC長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:連接OD,如圖1所示:
∵AD為∠CAB的平分線,
∴∠CAD=∠BAD,
又∵OA=OD,
∴∠BAD=ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AC∥OD,
∴∠E+∠EDO=180°,
又∵AE⊥ED,即∠E=90°,
∴∠EDO=90°,
則ED為圓O的切線
(2)解:連接BD,如圖2所示,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AC,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,cos∠DAB= ,
在Rt△AED中,AE=4,AD=5,
∴cos∠EAD= = ,又∠EAD=∠DAB,
∴cos∠DAB=cos∠EAD= = ,
則AB= AD= ,即圓的直徑為 ,
∴AO= ,
∵∠E=∠EDO=∠EFO=90°,
∴四邊形EFOD是矩形,
∴OF=DE=3,
∴AF= = ,
∴AC=2AF= .
【解析】(1)連接OD,由AD為角平分線,得到一對(duì)角相等,再由OA=OD,得到一對(duì)角相等,等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得AE與OD平行,由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ),得到∠E與∠EDO互補(bǔ),再由∠E為直角,可得∠EDO為直角,即DE為圓O的切線,得證;(2)連接BD,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AC,由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角,得到∠ADB為直角,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義得到cos∠DAB的值,又在直角三角形AED中,由AE及AD的長(zhǎng),利用銳角三角函數(shù)定義求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直徑AB的長(zhǎng),由勾股定理和垂徑定理即可求出AC長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解,則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程.
例如:方程 的解為 ,不等式組 的解集為 ,因?yàn)?/span> ,所以,稱方程為不等式組的關(guān)聯(lián)方程.
(1)在方程①,②,③中,不等式組 的關(guān)聯(lián)方程是 ;(填序號(hào))
(2)若不等式組的一個(gè)關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù),則這個(gè)關(guān)聯(lián)方程可以是 ;(寫出一個(gè)即可)
(3)若方程,都是關(guān)于的不等式組的關(guān)聯(lián)方程,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,EF與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F,EP⊥EF,與∠EFD的平分線FP相交于點(diǎn)P,且∠BEP=50°,則∠EPF=( )度.
A.70
B.65
C.60
D.55
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn),點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn),,,其中a、b滿足關(guān)系式:.
______,______,的面積為______;
如圖2,石于點(diǎn)C,點(diǎn)P是線段OC上一點(diǎn),連接BP,延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)當(dāng)時(shí),求證:BP平分;提示:三角形三個(gè)內(nèi)角和等于
如圖3,若,點(diǎn)E是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間上一點(diǎn)連接CE,且CB平分問(wèn)與有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系并請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB.
(1)用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)按所給的要求作圖:點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上,且CA=AB;
(2)在(1)中,如果AB=28 cm,線段BC上有一點(diǎn)M,且線段AM∶BM=1∶3,求線段CM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀理解:課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:
如圖1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng)AD到E,使得DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.
感悟:解題時(shí),條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣,可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.
(1)問(wèn)題解決:受到(1)的啟發(fā),請(qǐng)你證明下面命題:如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF.
①求證:BE+CF>EF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(2)問(wèn)題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點(diǎn),作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結(jié)EF、CF,那么下列結(jié)論①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.中一定成立是 (填序號(hào)).
圖1 圖2 圖3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)圓柱的底面半徑是10 cm,高是18 cm,把這個(gè)圓柱放在水平桌面上,如圖所示.
(1)如果用一個(gè)平面沿水平方向去截這個(gè)圓柱,所得的截面是什么形狀?
(2)如果用一個(gè)平面沿豎直方向去截這個(gè)圓柱,所得的截面是什么形狀?
(3)怎樣截時(shí)所得的截面是長(zhǎng)方形且長(zhǎng)方形的面積最大,請(qǐng)你畫出這個(gè)截面并求其面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1所示,在ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,AC⊥AB,△ACD沿射線AC的方向勻速平移得到△PNM,速度為1cm/s,同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿射線CB方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s,當(dāng)△PNM停止平移時(shí),點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng),如圖2所示,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),PQ∥MN?
(2)設(shè)△QMC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使得PQ=QM,若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=150°,點(diǎn)A到BC的距離為1,與AB重合的一條射線AP,從AB開始,以每秒15°的速度繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn),到達(dá)AC后立即以相同的速度返回AB,到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程,設(shè)AP與BC邊的交點(diǎn)為M,旋轉(zhuǎn)2019秒時(shí),BM= , CM= .
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