Question

如圖，已知在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE=AP=1，PB=．下列結(jié)論：
①△APD≌△AEB﹔②點(diǎn)B到直線AE的距離為﹔③EB⊥ED﹔④S_△APD+S_△APB=0.5+．
其中正確結(jié)論的序號是

1. A.
   ①③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ②③④
4. D.
   ①②④

Answer 1

A
分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP，然后利用“邊角邊”證明△APD和△AEB全等，從而判定①正確，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AEB=∠APD=135°，然后求出∠BEP=90°，判定③正確，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的長，然后根據(jù)S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE列式計算即可判斷出④正確；過點(diǎn)B作BF⊥AE交AE的延長線于F，先求出∠BEF=45°，從而判斷出△BEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BF的長為，判斷出②錯誤．
解答：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；
∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正確；
∵AE=AP=1，
∴PE=AE=，
在Rt△PBE中，BE===2，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE，
=×1×1+××2，
=0.5+，故④正確；
過點(diǎn)B作BF⊥AE交AE的延長線于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=×2=，
即點(diǎn)B到直線AE的距離為，故②錯誤，
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記性質(zhì)并仔細(xì)分析圖形，理清圖中三角形與角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．