Question

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是-2；

①求一次函數(shù)的解析式

②觀察圖象，x為何值時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)？

③求△AOB的面積．

④在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使S_△POA=2S_△AOB，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

①解：把x=-2代入y=-得：y=4，
把y=-2代入y=-得：x=4，
∴A（-2，4），B（4，-2），
代入y=kx+b得：，
解得：k=-1，b=2，
∴一次函數(shù)的解析式是：y=-x+2．

②解：∵A（-2，4），B（4，-2），
通過圖象可知：當(dāng)x＜-2或0＜x＜4時，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)．

③解：當(dāng)x=0時，y=-x+2=2，
∴D（0，2），
即OD=2，
∴△AOB的面積是S=S_△AOD+S_△BOD=×2×|-2|+×2×4=6，
答：△AOB的面積是6．

④解：存在，
理由是：∵P在直線y=-x+2上，
設(shè)P（x，-x+2），
∵S_△AOP=2S_△AOB，
∵△AOB的邊AB上的高和△POA的邊AP上的高相等，
∴AP=2AB，
由勾股定理得：AB==6，
∴PA=12，
即（x+2）²+（-x+2-4）²=（12）²，
解得：x₁=-14，x₂=10，
當(dāng)x=-14時，y=-x+2=16，
當(dāng)x=10時，y=-x+2=-8，
∴P的坐標(biāo)是（-14，16）或（10，-8）．
分析：①分別把x=-2和y=-2代入反比例函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；
②根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察圖象即可得出答案；
③求出D的坐標(biāo)，求出△AOD和△BDO的面積，相加即可；
④根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系和三角形的面積公式得出PA=2AB，求出AB的值，設(shè)P（x，-x+2），根據(jù)勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解二元一次方程組，勾股定理，三角形的面積，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題等知識點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的觀察圖形的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，用了數(shù)形結(jié)合思想．