Question

已知正方形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M、N分別在射線AC、BD上）點(diǎn)M、N與A、B、C、D、O各點(diǎn)均
不重合）且MN∥AD，連接DM、CN．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段AO、DO上時(shí)，探究：線段DM和CN之間的數(shù)量關(guān)系為

 

；（直接寫出
結(jié)論，不必證明）
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在線段OC、OB上時(shí)，判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立
說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)M．N分別在線段OC、OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出符合題意的圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）按照題意猜想線段DM和線段CN之間的數(shù)量關(guān)系應(yīng)該是相等；
（2）結(jié)論任然成立，證明△DOM≌△CON全等后即可證得線段DM=CN；
（3）當(dāng)點(diǎn)M．N分別在線段OC、OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立，證明方法與（2）類似．

解答：解：（1）DM=CN；

（2）結(jié)論任然成立．
證明：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，
∴AC=BD，OB=OD=

1

2

BD，OC=

1

2

AC，AC⊥BD
∴，OD=OC=OB=90°，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OMN=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ONM=∠OMN，
∴ON=OM，
在△DOM與△CON中，

OD=OC ∠DOM=∠∠CON OM=ON

∴△DOM≌△CON，
∴DM=CN；

（3）如圖，

結(jié)論仍然成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解本題中的圖形變化后結(jié)論不變，而且有相同的證明方法，這類題目也是中考的熱點(diǎn)考題之一，難度中等．