Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，M是x軸正半軸上一點，⊙M與x軸的正半軸交于A、B兩點，A在B的左側(cè)，且OA、OB的長是方程x²-4x+3=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點，N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在x軸上是否存在一點T，使△OTN是等腰三角形？若存在，求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由因式分解求出方程的解，確定A，B兩點的坐標，求出⊙M的直徑，
（2）由OM，MN的長可以求出∠MON的度數(shù)，寫出直線ON的解析式，
（3）由ON作為底邊和腰，可以直接寫出T點坐標．

解答：解：（1）（x-3）（x-1）=0
∴x₁=3，x₂=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2．
∴⊙M的直徑是2．

（2）∵ON⊥MN，點N在⊙M上，且在第四象限，
OM=2，MN=1，
∴∠MON=30°，
∴NO=

3

，則N點縱坐標為：-

3

2

，橫坐標為：

3

2

，
∴N點坐標為：（

3

2

，-

3

2

），
設直線ON的解析式為：y=kx，則-

3

2

=

3

2

k，
解得：k=-

3

3

，
∴直線ON的解析式為：y=-

3

3

x．

（3）當ON是等腰三角形的腰時，ON=

3

，以O為圓心，ON長為半徑畫弧，與x軸交于T點，
則T（-

3

，0）和T（

3

，0），以N為圓心，NO長為半徑畫弧，與x軸交于T點，則T（3，0）；
當ON是等腰三角形的底邊時，T（1，0）．
故T點坐標有：（-

3

，0）和（

3

，0）和（3，0）和（1，0）．

點評：本題考查了圓的綜合以及用因式分解法解一元二次方程以及直線和圓的位置關(guān)系及圓的半徑的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出T點坐標是解題關(guān)鍵．