【題目】(2016四川省樂山市第26題)如圖1,二次函數(shù)的圖象與軸分別交于A、B兩點,與軸交于點C.若tanABC=3,一元二次方程的兩根為-8、2.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)直線繞點A以AB為起始位置順時針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止,與線段BC交于點D,P是AD的中點.

求點P的運動路程;

如圖2,過點D作DE垂直軸于點E,作DFAC所在直線于點F,連結(jié)PE、PF,在運動過程中,EPF的大小是否改變?請說明理由;

(3)在(2)的條件下,連結(jié),求PEF周長的最小值.

【答案】(1);(2);不變,理由見試題解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)由軸分別交于A、B兩點,且一元二次方程的兩根為-8、2,可得點A、點B的坐標,即可得到OB的長,又由tanABC=3,得到點C(0,-6),將 A、B、C的坐標代入二次函數(shù)中,即可得到二次函數(shù)解析式;

(2)如圖6.1,當l在AB位置時,P即為AB的中點H,當l運動到AC位置時,P即為AC的中點K,故P的運動路程為ABC的中位線HK,在RtBOC中,由勾股定理得到BC的長,再由三角形中位線定理可得到HK的長,即P的運動路程;

②∠EPF的大小不會改變由于,P為RtAED斜邊AD的中點,故PE=AD=PA,從而PAE=PEA=EPD,同理有PAF=PFA=DPF,即可得到EPF=2EAF,故EPF的大小不會改變;

(3)設(shè)PEF的周長為C,則=PE+PF+EF=AD+EF,在等腰三角形PEF中,過P作PGEF于點G,得到EPG=EPF=BAC,由于tanBAC=,故tanEPG=,得到EG=PE,EF=PE=AD,從而有=AD+EF=AD=AD,又當ADBC時,AD最小,此時最小,由=30,得到AD=,從而得到最小值

試題解析:(1)函數(shù)的圖象與軸分別交于A、B兩點,且一元二次方程的兩根為-8、2,A(-8,0)、B(2,0),即OB=2,又tanABC=3,OC=6,即C(0,-6),將 A(-8,0)、B(2,0)代入中,解得:,二次函數(shù)解析式為:;

(2)如圖6.1,當l在AB位置時,P即為AB的中點H,當l運動到AC位置時,P即為AC的中點K,P的運動路程為ABC的中位線HK,HK=BC,在RtBOC中,OB=2,OC=6,BC=,HK=,即P的運動路程為;

②∠EPF的大小不會改變理由如下:

DEAB,在RtAED中,P為斜邊AD的中點,PE=AD=PA,∴∠PAE=PEA=EPD,同理可得:PAF=PFA=DPF,∴∠EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF),即EPF=2EAF,又∵∠EAF大小不變,∴∠EPF的大小不會改變;

(3)設(shè)PEF的周長為C,則=PE+PF+EF,PE=AD,PF=AD,=AD+EF,在等腰三角形PEF中,過P作PGEF于點G,∴∠EPG=EPF=BAC,tanBAC=,tanEPG=EG=PE,EF=PE=AD,=AD+EF=AD=AD,又當ADBC時,AD最小,此時最小,=30,BC·AD=30,AD=,最小值為:AD=

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(1)圖中A→C可以記為(    ),B→C可以記為(  ,  ).

(2)D→  可以記為(﹣4,﹣2).

(3)若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D,請計算該甲蟲走過的路程長度為  ;

(4)若這只甲蟲從A處去甲蟲P處的行走路線依次為(+1,+3),(+3,﹣2),(﹣2,+1),請在圖中標出P的位置.

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