Question

已知：如圖，AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為D，AC經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，弦DE⊥AC，垂足為F，∠A=30°．
（1）△DCE是否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑R=2，試求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OD．根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥AD．所以∠AOD=60°．根據(jù)垂徑定理得∠DCE=60°，CE=CD．故可判定△CDE是等邊三角形；
（2）由（1）知CE=DE=2DF．根據(jù)三角函數(shù)可求DF．

解答：解：（1）△DCE是等邊三角形．
理由如下：
連接OD．
∵AD切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AD，即∠ADO=90°．
又∵∠A=30°，∴∠AOD=60°．
∵BC為⊙O的直徑且DE⊥AC，
∴

BE

=

BD

；

CE

=

CD

．
∴CE=CD，∠DCE=60°．
∴△DCE是等邊三角形．

（2）∵⊙O的半徑R=2．∴直徑BC=4．
由BC是直徑知∠BEC=90°．
在Rt△BEC中，
∵Sin∠CBE=

CE

BC

=sin60°，
∴CE=BCsin60°=4×

3

2

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查切線的性質(zhì)、垂徑定理、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．