Question

如圖，已知直角三角形ABC，∠C=90°．
（1）試用直尺和圓規(guī)完成下列作圖：①作三角形ABC的中線CE；②作△ACD，使它與△ACE關(guān)于直線AC對(duì)稱．
（2）求證：（1）中的四邊形ADCE是菱形；
（3）求證：BC=ED．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用線段垂直平分線的作法得出AB的中點(diǎn)，進(jìn)而得出中線CE，再利用作三角形全等于已知三角形作法得出即可；
（2）利用直線對(duì)稱性得出△ACD≌△ACE，進(jìn)而得出EA=EC=DA=DC，求出即可；
（3）利用平行四邊形的判定得出四邊形BCDE為平行四邊形，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵∠C=90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴EA=EC，
∵△ACD與△ACE關(guān)于直線AC對(duì)稱．
∴△ACD≌△ACE，
∴EA=EC=DA=DC，
∴四邊形ADCE是菱形；

（3）證明：∵ADCE是菱形，
∴CD∥AE且CD=AE，
∵AE=EB∴CD∥EB且CD=EB
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∴DE=BC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定和證明線段相等的常用方法以及畫圖的規(guī)范和證明的嚴(yán)密性，正確把握菱形的判定是解題關(guān)鍵．