Question

直角△ABC的三條邊a、b、c均滿足方程x²-（

2

+1）x+m=0，則①m=

 

；②△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點：根的判別式,等腰直角三角形

專題：

分析：因為一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，而直角△ABC的三邊a、b、c均滿足方程，則該直角三角形一定是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的斜邊是直角邊的

2

倍，可以求得方程的兩個根，其中較小的根是等腰直角三角形的直角邊，進一步求得三角形的面積即可．

解答：解：∵直角△ABC的三條邊a、b、c均滿足方程x²-（

2

+1）x+m=0的兩個根，
必然存在a=b或a=c或b=c
∴直角三角形△ABC是等腰直角三角形，則斜邊是直角邊的

2

倍．
設(shè)方程的較小的根是x，則較大的根是

2

x．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得
x+

2

x=

2

+1
解得x=1，
x•

2

x=m，
m=

2

則直角三角形的直角邊是1，直角三角形的面積是

1

2

．

點評：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，抓住等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題．